2010年全国硕士研究生入学统一考试试题

2010年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合试题要求.

（1）若，则a等于

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.

[ ]

（2）设y₁，y₂是一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy₁+μy₂是该方程的解，λy₁-μy₂是该方程对应的齐次方程的解，则

[ ]

（3）设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g″（x）<0.若g（x₀）=a是g（x）的极值，则f（g（x））在x₀取极大值的一个充分条件是

（A）f′（a）<0.（B）f′（a）>0.

（C）f″（a）<0.（D）f″（a）>0.

[ ]

（4）设f（x）=ln¹⁰x，g（x）=x，，则当x充分大时有

（A）g（x）<h（x）<f（x）.（B）h（x）<g（x）<f（x）.

（C）f（x）<g（x）<h（x）.（D）g（x）<f（x）<h（x）.

[ ]

（5）设向量组Ⅰ：α₁，α₂，…，α_r可由向量组Ⅱ：β₁，β₂，…，β_s线性表示.下列命题正确的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s.

（B）若向量组Ⅰ线性相关，则r>s.

（C）若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s.

（D）若向量组Ⅱ线性相关，则r>s.

[ ]

（6）设A为四阶实对称矩阵，且A²+A=O.若A的秩为3，则A相似于

[ ]

（7）设随机变量X的分布函数，则P（X=1）=

[ ]

（8）设f₁（x）为标准正态分布的概率密度，f₂（x）为[-1，3]上均匀分布的概率密度，若

为概率密度，则a，b应满足

（A）2a+3b=4.（B）3a+2b=4.

（C）a+b=1.（D）a+b=2.

[ ]

二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.

（9）设可导函数y=y（x）由方程确定，则

（10）设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为.

（11）设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1+p³，其中p为价格，且R（1）=1，则R（p）=____.

（12）若曲线y=x³+ax²+bx+1有拐点（-1，0），则b=____.

（13）设A，B为三阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A^-1+B|=2，则|A+B^-1|=____.

（14）设X₁，X₂，…，X_n是来自总体N（μ，σ²）（σ>0）的简单随机样本.记统计量，则ET=____.

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

计算二重积分，其中D由曲线与直线及围成.

（17）（本题满分10分）

求函数u=xy+2yz在约束条件x²+y²+z²=10下的最大值和最小值.

（18）（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由；

（Ⅱ）记，求极限

（19）（本题满分10分）

函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且

（Ⅰ）证明：存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；

（Ⅱ）证明：存在ξ∈（0，3），使f″（ξ）=0.

（20）（本题满分11分）

设，.已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解.

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解.

（21）（本题满分11分）

设，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵.若Q的第1列为，求a，Q.

（22）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求常数A及条件概率密度f_Y|X（y|x）.

（23）（本题满分11分）

箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个.现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数.

（Ⅰ）求随机变量（X，Y）的概率分布；

（Ⅱ）求Cov（X，Y）.