14.2  常用样本统计量分布的计算

14.2 常用样本统计量分布的计算

（1）一个正态总体情形

设简单随机样本X₁，X₂，…，X_n来自正态总体X～N（μ，σ²）.记（样本均值），（样本方差），则，即

（2）两个正态总体情形

设简单随机样本X₁，X₂，…，X_n1与Y₁，Y₂，…，Y_n2分别来自相互独立正态总体x～N（μ₁，σ²₁）和N（μ₂，σ²₂），记

则

例14.1 设X₁，X₂，X₃，X₄是来自总体x～N（0，2²）的简单随机样本，并且统计量U=a（X₁-2X₂）²+b（3X₃-4X₄）²～χ²（n）（a>0，b>0），求常数a，b及自由度n之值.

精解 由于U只有两个平方项，所以n=2，下面计算a，b之值.

按χ²分布的定义，要使U～χ²（2），必须，于是，

由得

由得

例14.2 设X₁，X₂，…，X₉是来自总体N（μ，σ²）的简单随机样本，记

求统计量所服从的分布.

精解 由于所以

由于S²是样本X₇，X₈，X₉的方差，所以.此外，与相互独立（这是由于Y₁、Y₂都与S²相互独立）.

因此，由t分布定义得

例14.3 设X₁，X₂，…，X₁₅是来自总体（0，2²）的简单随机样本，求统计量所服从的分布.

精解 由于，，所以由F分布定义得

例14.4 设X₁，X₂，…，X_n（n>2）是来自总体x～N（0，1）的简单随机样本，记求：

（1）统计量Y₁所服从的分布；

（2）统计量Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n）.

精解 （1）由于X₁，X₂，…，X_n相互独立，且都服从N（0，1），所以

服从正态分布.

由于因此，

例14.5 设X₁，X₂，…，X_n是总体N（0，1）的简单随机样本，记（其中，2），求统计量T的方差.

精解 由与S²相互独立知与相互独立，所以

其中，由知，从而有，因此

由（n-1）S²～χ²（n-1）知

将式（2）、式（3）代入式（1）得