2011年全国硕士研究生入学统一考试试题

2011年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

（1）已知当x→0时，f（x）=3sinx-sin3x与cx^k是等价无穷小，则

（A）k=1，c=4.（B）k=1，c=-4.

（C）k=3，c=4.（D）k=3，c=-4.

[ ]

（2）已知函数f（x）在x=0处可导，且f（0）=0，则

（A）-2f′（0）.（B）-f′（0）.（C）f′（0）.（D）0.

[ ]

（3）设{u_n}是数列，则下列命题正确的是

（A）若收敛，则收敛.

（B）若收敛，则收敛.

（C）若收敛，则收敛.

（D）若收敛，则收敛.

[ ]

（4）设，，，则I，J，K的大小关系是

（A）I<J<K.（B）I<K<J.（C）J<I<K.（D）K<J<I.

[ ]

（5）设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，，则A=

（A）P₁P₂.（B）P₁^-1P₂.（C）P₂P₁.（D）P₂P₁^-1.

[ ]

（6）设A为4×3矩阵，η₁，η₂，η₃是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k₁，k₂为任意常数，则Ax=β的通解为

[ ]

（7）设F₁（x），F₂（x）为两个分布函数，其相应的概率密度f₁（x），f₂（x）是连续函数，则必为概率密度的是

（A）f₁（x）f₂（x）.（B）2f₂（x）F₁（x）.

（C）f₁（x）F₂（x）.（D）f₁（x）F₂（x）+f₂（x）F₁（x）.

[ ]

（8）设总体X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，X₁，X₂，…，X_n（n≥2）为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量，T，

（A）ET₁>ET₂，DT₁>DT₂.（B）ET₁>ET₂，DT₁<DT_2.

（C）ET₁<ET₂，DT₁>DT₂.（D）ET₁<ET₂，DT₁<DT_2.

[ ]

二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.

（9）设，则f′（x）=.，则dz（1，1）=____.

（11）曲线在点（0，0）处的切线方程为.

（12）曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为____.

（13）设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为____.

（14）设二维随机变量（X，Y）服从N（μ，μ；σ²，σ²；0），则E（XY²）=____.

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

已知函数f（u，v）具有连续的二阶偏导数，f（1，1）=2是f（u，v）的极值，z=f（x+y，f（x，y））.求

（17）（本题满分10分）

求

（18）（本题满分10分）

证明：恰有两实根.

（19）（本题满分10分）

设函数f（x）在[0，1]上有连续导数，f（0）=1，且，求f（x）的表达式.

（20）（本题满分11分）

设向量组α₁=（1，0，1）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（1，3，5）^T不能由向量组β₁=（1，1，1）^T，β₂=（1，2，3）^T，β₃=（3，4，a）^T线性表出.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）将β₁，β₂，β₃用α₁，α₂，α₃线性表出.

（21）（本题满分11分）

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r（A）=2，且

求：（Ⅰ）A的特征值与特征向量；

（Ⅱ）矩阵A.

（22）（本题满分11分）

P（X²=Y²）=1.

求：（Ⅰ）二维随机变量（X，Y）的概率分布；

（Ⅱ）Z=XY的概率分布；

（Ⅲ）X，Y的相关系数ρ_XY.

（23）（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0，x+y=2与y=0所围成的区域.

（Ⅰ）求边缘概率密度f_X（x）；

（Ⅱ）求条件密度函数f_X|Y（x|y）.