2008年全国硕士研究生入学统一考试试题
一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
（1）设函数f（x）在区间[-1，1]上连续，则x=0是函数
的
（A）跳跃间断点.（B）可去间断点.
（C）无穷间断点.（D）振荡间断点.
[ ]
（2）如右图所示，曲线段的方程为y=f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分
等于
（A）曲边梯形ABOD的面积.
（B）梯形ABOD的面积.
（C）曲边三角形ACD的面积.
（D）三角形ACD的面积.
[ ]
（3）已知
，则
（A）fx′（0，0），fy′（0，0）都存在.
（B）fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在.
（C）fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在.
（D）fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在.
[ ]
（4）设函数f连续.若
，其中区域Duv为下图中阴影部分，
则
[ ]
（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A3=O，则
（A）E-A不可逆，E+A不可逆.
（B）E-A不可逆，E+A可逆.
（C）E-A可逆，E+A可逆.
（D）E-A可逆，E+A不可逆.
[ ]
（6）设
，则在实数域上与A合同的矩阵为
[ ]
（7）设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}的分布函数为
（A）F2（x）.（B）F（x）F（y）.
（C）1-[1-F（x）]2.（D）[1-F（x）][1-F（y）].
[ ]
（8）设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρXY=1，则
（A）P{Y=-2X-1}=1.（B）P{Y=2X-1}=1.
（C）P{Y=-2X+1}=1.（D）P{Y=2X+1}=1.
[ ]
二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.
（9）设函数
在（-∞，+∞）内连续，则c=.
（10）设
，则
（11）设D={（x，y）|x2+y2≤1}，则
（12）微分方程xy′+y=0满足条件y（1）=1的解是y=____.
（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则|4A-1-E|=____.
（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X=EX2）=____.
三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求极限
（16）（本题满分10分）
设z=z（x，y）是由方程x2+y2-z=φ（x+y+z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ′≠-1.
（Ⅰ）求dz；
（Ⅱ）记
，求
（17）（本题满分11分）
计算
，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}.
（18）（本题满分10分）
设f（x）是周期为2的连续函数.
（Ⅰ）证明：对任意的实数t，有
；
（Ⅱ）证明：
是周期为2的周期函数.
（19）（本题满分10分）
设银行存款的年利率为r=0.05，并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？
（20）（本题满分12分）
设n元线性方程组Ax=b，其中
（Ⅰ）证明：行列式|A|=（n+1）an；
（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.
（21）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3.
（Ⅰ）证明：α1，α2，α3线性无关；
（Ⅱ）令P=（α1，α2，α3），求P-1AP.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为
，Y的概率密度为
，
记Z=X+Y.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求Z的概率密度fZ（z）.
（23）（本题满分11分）
设X1，X2，…，Xn是总体N（μ，σ2）的简单随机样本.记
（Ⅰ）证明：T是μ2的无偏估计量；
（Ⅱ）当μ=0，σ=1时，求DT.