2008年全国硕士研究生入学统一考试试题

2008年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、选择题：第（1）～（8）小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

（1）设函数f（x）在区间[-1，1]上连续，则x=0是函数的

（A）跳跃间断点.（B）可去间断点.

（C）无穷间断点.（D）振荡间断点.

[ ]

（2）如右图所示，曲线段的方程为y=f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分等于

（A）曲边梯形ABOD的面积.

（B）梯形ABOD的面积.

（C）曲边三角形ACD的面积.

（D）三角形ACD的面积.

[ ]

（3）已知，则

（A）f_x′（0，0），f_y′（0，0）都存在.

（B）f_x′（0，0）不存在，f_y′（0，0）存在.

（C）f_x′（0，0）存在，f_y′（0，0）不存在.

（D）f_x′（0，0），f_y′（0，0）都不存在.

[ ]

（4）设函数f连续.若，其中区域D_uv为下图中阴影部分，

则

[ ]

（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A³=O，则

（A）E-A不可逆，E+A不可逆.

（B）E-A不可逆，E+A可逆.

（C）E-A可逆，E+A可逆.

（D）E-A可逆，E+A不可逆.

[ ]

（6）设，则在实数域上与A合同的矩阵为

[ ]

（7）设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}的分布函数为

（A）F²（x）.（B）F（x）F（y）.

（C）1-[1-F（x）]².（D）[1-F（x）][1-F（y）].

[ ]

（8）设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρ_XY=1，则

（A）P{Y=-2X-1}=1.（B）P{Y=2X-1}=1.

（C）P{Y=-2X+1}=1.（D）P{Y=2X+1}=1.

[ ]

二、填空题：第（9）～（14）小题，每小题4分，共24分.(https://www.daowen.com)

（9）设函数在（-∞，+∞）内连续，则c=.

（10）设，则

（11）设D={（x，y）|x²+y²≤1}，则

（12）微分方程xy′+y=0满足条件y（1）=1的解是y=____.

（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则|4A^-1-E|=____.

（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X=EX²）=____.

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）

求极限

（16）（本题满分10分）

设z=z（x，y）是由方程x²+y²-z=φ（x+y+z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数，且φ′≠-1.

（Ⅰ）求dz；

（Ⅱ）记，求

（17）（本题满分11分）

计算，其中D={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}.

（18）（本题满分10分）

设f（x）是周期为2的连续函数.

（Ⅰ）证明：对任意的实数t，有；

（Ⅱ）证明：是周期为2的周期函数.

（19）（本题满分10分）

设银行存款的年利率为r=0.05，并依年复利计算.某基金会希望通过存款A万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？

（20）（本题满分12分）

设n元线性方程组Ax=b，其中

（Ⅰ）证明：行列式|A|=（n+1）aⁿ；

（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；

（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.

（21）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α_3.

（Ⅰ）证明：α₁，α₂，α₃线性无关；

（Ⅱ）令P=（α₁，α₂，α₃），求P^-1AP.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为，Y的概率密度为

，

记Z=X+Y.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求Z的概率密度f_Z（z）.

（23）（本题满分11分）

设X₁，X₂，…，X_n是总体N（μ，σ²）的简单随机样本.记

（Ⅰ）证明：T是μ²的无偏估计量；

（Ⅱ）当μ=0，σ=1时，求DT.