点估计量的计算

15.点估计量的计算

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，θ是总体的未知参数.

（1）θ的矩估计量的计算方法

θ的矩估计量通常按以下方法计算：

计算EX，并令，由此算出θ，即为θ的矩估计量θ^.

（2）最大似然估计量的计算方法

设X₁，X₂，…，X_n的观察值为x₁，x₂，…，x_n，构造似然函数

L（θ）=f（x₁；θ）f（x₂；θ）…f（x_n；θ）（其中f（x_i；θ）是x_i的概率密度）.对lnL（θ）求导，且令，解此方程得到的θ=θ（x₁，x₂，…，x_n）.将其中的x₁，x₂，…，x_n对应地换成X₁，X₂，…，X_n，即算得θ的最大似然估计量.

例15.1 设X₁，X₂，…，X_n为来自正态总体N（μ₀，σ²）的简单随机样本，其中μ₀已知，σ²>0未知.与S²分别表示样本均值和样本方差.

（1）求参数σ²的最大似然估计量；

（2）计算和

精解 （1）总体的概率密度为，记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数为

即

由此得到

令得从而σ²的最大似然估计量为

（2）由于，所以

例15.2 设总体X的概率密度为

其中参数λ未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本.

（1）求参数λ的矩估计量；

（2）求参数λ的最大似然估计量.

精解 （1）X的数学期望为

令，即由此得到λ的矩估计量为

（2）记X₁，X₂，…，X_n的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数

显然L（λ）只能在x₁，x₂，…，x_n>0时才能取到最大值，所以可以化简L（λ）为

即

由此可得

令得，因此λ的最大似然估计量为其中

例15.3 （1）设总体X的概率密度为(https://www.daowen.com)

其中θ（0<θ<1）未知，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单样本，X是样本均值.求θ的矩估计量；

（2）设总体X的概率密度为

其中θ>0是未知参数.设X₁，X₂，…，X_n是来自X的一个简单随机样本，求θ的最大似然估计量，并求

精解 （1）

令得，所以θ的矩估计量为

（2）记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，作似然函数

显然L（θ）的最大值只能在x₁，x₂，…，x_n≥θ处取到，所以可以简化L（θ）为

显然它是θ的单调增加函数，在θ=min{x₁，x₂，…，x_n}处取最大值.从而θ的最大似然估计量为

由于X的分布函数为所以X（1）的分布函数

因此，X（1）的概率密度为

从而

例15.4 设总体X的分布函数为 其中参数α>0，β>1.设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本，X是该样本的均值.

（1）当α=1时，求β²的矩估计量；

（2）当β=2时，求α的最大似然估计量.

精解 X的概率密度为

（1）当α=1时，所以

令，即解此方程得从而β²的矩估计量为

（2）当β=2时，，记样本的观察值为x₁，x₂，…，x_n，则似然函数

显然L（α）的最大值只能在x₁，x₂，…，x_n≥α上取到，所以可化简似然函数为

L（α）=2ⁿα²ⁿ（x₁x₂…x_n）^-3， x₁，x₂，…，x_n≥α.

容易知道L（α）是单调增加函数，所以当α=min{x₁，x₂，…，x_n}时L（α）取最大值.因此，α的最大似然估计量