2009年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

2009年全国硕士研究生入学统一考试试题精解

一、选择题

（1）分析 先确定函数f（x）的间断点，然后从中选出可去间断点.

精解 函数f（x）的间断点即为sinπx的零点，所以有x=0，±1，±2，…，其中

此外，对n=2，3，…，由

知

所以f（x）的可去间断点有3个，即x=0，-1，1.

因此本题选（C）.

附注 初等函数的间断点都来自g（x）的零点.

（2）分析 由所给的四个选项可知，本题可在a、b都不为零的情形下考虑.

精解 由于

所以当f（x）～g（x）（x→0）时，即a=1，，

因此本题选（A）.

附注 寻找x→x₀时函数h（x）的等价无穷小的步骤如下：

（ⅰ）作变量代换t=x-x₀，按以下方法寻找φ（t）=h（t+x₀）在t→0时的等价无穷小.

（a）利用常用函数在t→0时的等价无穷小.

sint～t，arcsint～t，tant～t，arctant～t，

（b）利用常用函数的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式：t→0时，

（ⅱ）在（ⅰ）中算得的等价无穷小中令t=x-x₀，即得x→x₀时h（x）的等价无穷小.

（3）分析 记，然后用导数方法确定使F（x）单调的选项即可.

精解 先考虑选项（A）.

由于函数F（x）在（0，1）上可导且

所以F（x）在（0，1）内单调减少，从而有F（x）>F（1）=0，即

因此本题选（A）.

附注 可导函数f（x）的单调性总是用导数方法来确定.

（4）分析 按积分上限函数的性质，排除其中三个不正确的选项即可.

精解 当-1≤x<0时，函数，所以选项（A）、（C）应排除.

函数f（x）在[0，3]上除点x=2是第一类间断点外，处处连续，即f（x）在[0，3]上可积，从而函数在[0，3]上连续，所以选项（B）也应排除.

因此本题选（D）.

附注 积分上限函数有以下性质：

（ⅰ）设f（x）在[a，b]上可积，则F（x）在[a，b]上连续；

（ⅱ）设f（x）在[a，b]上连续，则F（x）在[a，b]上可导，且F′（x）=f（x）.

（5）分析 通过矩阵与选项中的矩阵相乘，判定正确选项.

精解 记，则|C|=|A||B|=6.先考虑选项（A）.

由于

所以排除选项（A），再考虑选项（B）.

由于

所以的伴随矩阵是

因此本题选（B）.

附注 记住以下公式是有用的：

设M₁，M₂都是方阵，则

（6）分析 将Q用P表示后，代入Q^TAQ进行运算即可.

精解 由于

所以

因此本题选（A）.

附注 由于和都是初等矩阵，所以以上的矩阵运算都可以简单地得到：

同样，

（7）分析 事件A与事件B互不相容，即AB=，由此入手选择正确选项.

精解 由AB=知，即，所以有

因此本题选（D）.

附注 设A，B都是事件，则有

应记住这两个公式.

（8）分析 按分布函数的定义算出随机变量Z的分布函数F_Z（z）后，即可确定间断点的个数.

精解

由此可知，F_Z（z）只有一个间断点z=0.

因此本题选（B）.

附注 对于题中的随机变量X与Y，同样可以考虑F_U（u）的间断点，其中F_U（u）是随机变量U=X+Y的分布函数.

二、填空题

（9）分析 所给极限是型未定式极限，先用等价无穷小代替化简后计算.

精解

附注 计算型未定式极限时，应先进行化简，其中等价无穷小代替是化简的主要手段.

（10）分析 将y=0代入函数z的表达式，记所得函数为φ（x），然后计算φ′（1）即可.

精解 记

附注 本题也可以先求偏导数，然后用x=1，y=0代入.但这样计算没有用题解中的方法快捷.

（11）分析 设幂级数，则它的收敛半径，其中

精解 记，则

所以所给幂级数的收敛半径

附注 幂级数的收敛半径R的计算方法是：

（ⅰ）如果存在或为无穷大，则

（ⅱ）如果数列不存在（例如，是缺项幂级数），或者虽然存在，但极限不存在且不为无穷大，此时把理解为（其中u_k（x）≠0，k=0，1，2，…），然后计算

则收敛半径R可从（-R，R）={xρ（x）<1}算得.

（12）分析 收益函数L=Qp，因此只要计算即可.

精解 由L=Qp得

由于 ，即

将它代入式（1）得

于是，即当需求量为10000件时，价格增加1元，会使产品收益增加8000元.

附注 题解中，这是因为Q（p）是p的减函数，即，所以为了保证ε_p>0，故在公式右边加“-”号。

（13）分析 利用相似矩阵的迹相等计算k的值.精解 αβ^T，即，而的迹为3+0+0=3.

由于上述两个矩阵相似，所以它们的迹相等，即k+1=3，因此k=2.

附注 相似矩阵的以下性质是常用的：

设A～B，则trA=trB，|A|=|B|.

（14）分析 利用，ES²=DX（其中X是总体）计算ET.

精解

由于X～B（n，p），所以EX=np，DX=np（1-p）.将它们代入式（1）得

ET=np-np（1-p）=np².

附注 要记住以下的结论：

设X₁，X₂，…，X_n是来自总体X（它的数学期望与方差分别为μ，σ²）的简单随机样本，，，则，，.

三、解答题

（15）分析 先计算二元函数f（x，y）的驻点，然后判断各个驻点是否为极值点，并计算极值点处的函数值（即极值）.

精解 二元函数f（x，y）的定义域为上半平面y>0，在其中f（x，y）具有二阶连续偏导数，且

f_x′=2x（2+y²），f_y′=2x²y+1+lny，

由

，

{，即得x=0，（它们是f（x，y）的唯一驻点）.

由于

所以二元函数f（x，y）有极小值，无极大值.

附注 应熟练掌握二元函数极值的计算方法.

本题的有关内容与计算方法见提高篇11.

（16）分析 由于被积函数中有无理式，所以先用换元积分法，再考虑应用分部积分法计算所给的不定积分.

精解

附注 题解中的是有理函数的不定积分，其中被积函数的部分分式是按

以下方法得到的：

上式右边通分得

A（t+1）²+B（t-1）（t+1）+C（t-1）=1，

即

所以，，.从而

要熟练掌握有理真分式化成部分分式的方法.

（17）分析 由于D是角域（即从原点出发的半直线y=x，y=-x（y≥0）之间的区域）的一部分，所以采用极坐标计算所给的二重积分.

精解 由于D的极坐标表示式为

所以

附注 题解中的极坐标系的极点取为原点，极轴取为x轴的正半轴，此时同一个点（x，y）与（r，θ）之间有

x=rcosθ，y=rsinθ.

现在将极坐标系的极点取为点（1，1），取由点（1，1）出发平行于x轴的半直线（方向与x轴的正半轴相同）为极轴，此时同一个点（x，y）与（ρ，φ）之间有

x=1+ρcosφ，y=1+ρsinφ.

现在在此坐标系下计算

首先此时，并且dxdy=ρdρdφ，所以

本题的有关计算方法见提高篇12.

（18）分析 （Ⅰ）作辅助函数，并对它在[a，b]上应用罗尔定理即可.

（Ⅱ）利用拉格朗日中值定理，按右导数定义证明f′₊（0）存在且为A.

精解 （Ⅰ）记，则函数F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）=F（b）（=f（a）），所以由罗尔定理知，存在ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=0，即

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.

（Ⅱ）由题设知，对任意x∈（0，δ），f（t）在[0，x]上连续，在（0，x）内可导，所以由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈（0，x），使得

f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0），即

由于x→0+时，ξ→0+，所以

由此可知，f₊′（0）存在且为A.

附注 本题（Ⅱ）可以推广为：

设函数f（x）在点x=c处连续，在（c，c+δ）（δ>0）内可导，且，则f′ +（c）=A；

设函数f（x）在点x=c处连续，在（c-δ，c）（δ>0）内可导，且，则f′ -（c）=B.这一推广有以下应用：

设分段函数

，

{，其中f（x）在点x=x₀处连续，f₁（x）（x<x₀）可导，f₂（x）（x>x₀）可导.当已算得f′₁（x）（x<x₀）和f₂′（x）（x>x₀）时，f（x）在点x₀处的可导性可按以下方法判别：

如果和都存在且相等，则f（x）在点x₀处可导，且（或）.

本题（Ⅱ）的有关证明方法见提高篇04.

（19）分析 先算出曲边梯形面积和旋转体体积，由题设建立方程，然后求导将它转换成微分方程，求解此微分方程可得曲线方程y=f（x）.

精解 曲边梯形面积为，旋转体体积为.于是由题设得

，即

上式两边对t求导得

式（1）两边对t求导得

2yy′=2y+ty′，即或 （一阶线性微分方程）.

它的通解为

由式（1）可知，t=1时，y=1，0.由题设y>0，所以y=0应舍去，因此y|_t=1=1.将它代入式（2）得

，即

将它代入式（2）得，即

由于当x>1时，y>1，从而由式（3）知

因此的反函数存在，记为y=f（x），它即为所求的曲线方程.

附注 （ⅰ）实际上是齐次方程，其通解可直接计算如下：

令，则所给微分方程成为

，即

上式两边分别积分得

即

u（3-2u）²=（Ct）^-3

由y|_t=1=1知u|_t=1=1，将它代入上式得C=1.再将C=1代入上式得

，即y（3t-2y）²=1或

（ⅱ）题解中算出后，其反函数才是所求的曲线方程.因此有必要说明这个反函数是存在的，这就是题解中最后部分所做的工作.

本题是综合题，其有关内容与计算方法见提高篇09，15.

（20）分析 （Ⅰ）解非齐次线性方程组算得所有的ξ₂，ξ_3.

（Ⅱ）计算（ξ₁，ξ₂，ξ₃）的行列式，判定ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关.

精解（Ⅰ）对增广矩阵（A┆ξ₁）施行初等行变换：

记ξ₂=（x₁，x₂，x₃）^T，则方程组Aξ₂=ξ₁与方程组

同解，式（1）对应的导出组的基础解系为，式（1）有特解，所以（C为任意常数）.

由于

对增广矩阵（A²┆ξ₁）施行初等行变换：

记ξ₃=（y₁，y₂，y₃）^T，则方程组A²ξ₃=ξ₁与方程

同解，式（2）对应的导出组的基础解系为（-1，1，0）^T和（0，0，1）^T，式（2）有特解，所以（C₁，C₂是任意常数）.

（Ⅱ）因为对于任意C，C₁，C₂有

所以，向量组ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关.

附注 （ⅰ）应熟练掌握非齐次线性方程组的通解计算方法.

（ⅱ）要判定n个n维列向量α₁，α₂，…，α_n的线性相关性，如果这n个向量的元素是具体的数字或文字，其快捷方法是构造矩阵A=（α₁，α₂，…，α_n），当|A|≠0时，α₁，α₂，…，α_n线性无关；当|A|=0时，α₁，α₂，…，α_n线性相关.

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇18.

（21）分析 （Ⅰ）写出二次型f的矩阵A，然后由|λE-A|（E是三阶单位矩阵）算出A的所有特征值.

（Ⅱ）令矩阵A的最小特征值为零，即得a的值.

精解 （Ⅰ）二次型f的矩阵

由此知矩阵A有特征值a-2，a，a+1（由小到大排列）.

（Ⅱ）由二次型f的规范形为y²₁+y²₂知矩阵A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，所以矩阵A有两个正特征值和一个零特征值.从而a-2=0，即a=2.

附注 二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=x^TAx（其中x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，A是实对称矩阵）的规范形是唯一的，即其中的正平方项个数p（正惯性指数）与负平方项个数q（负惯性指数）由f唯一确定.

p即为实对称矩阵A的正特征值个数，q即为实对称矩阵A的负特征值个数.

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇19，20.

（22）分析 （Ⅰ）先算出关于随机变量X的边缘概率密度f_X（x），然后按公式计算f_Y|X（y|x）.

（Ⅱ）先算出关于随机变量Y的边缘概率密度，然后按条件概率计算公式计算概率P（X≤1|Y≤1）.

精解 （Ⅰ）由题设知，函数f（x，y）仅在图B.09.1的

阴影部分取值为e^-x，在xOy平面的其他部分都取值为0，所以二维随机变量（X，Y）的关于X的边缘概率密度

图 B.09.1

显然，仅在（0，+∞）上f_X（x）≠0，于是对于x∈（0，+∞）有

（Ⅱ）二维随机变量（X，Y）的关于Y的边缘概率密度

所以，

其中，

（△OAB如图B.09.1所示，其中A=（1，0），B=（1，1））

将式（2）、式（3）代入式（1）得

附注 由二维随机变量的概率密度f（x，y）计算关于X的边缘概率密度时，应注意积分是对于任意固定的x∈（-∞，+∞）计算的，即这个积分是沿横坐标为x的铅垂直线计算的.由图B.09.1可知，当x≤0时，f（x，y）在这条铅垂直线上取值均为零，因此有；当x>0时，f（x，y）在这条铅垂直线位于阴影部分（即该图中所示的线段MN）上取值为e^-x，在其余部分上取值均为零，因此有

对于计算关于Y的边缘概率密度时的积分有同样的说法.

进一步深入学习见提高篇23.

（23）分析 （Ⅰ）用条件概率公式计算概率P（X=1|Z=0）.

（Ⅱ）先确定二维随机变量（X，Y）所有可能取的值，然后计算（X，Y）取各个值的概率，即得（X，Y）的概率分布.

精解 （Ⅰ）由于

式中，

将它们代入式（1）得

（Ⅱ）X，Y全部可能取的值都为0，1，2，且

P（X=2，Y=1）=P（X=2，Y=2）=0，

所以，二维随机变量（X，Y）的概率分布可表示如下：

附注 计算二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布的步骤如下：

（ⅰ）确定（X，Y）全部可能取的值；

（ⅱ）计算（X，Y）取各个值的概率，此时往往需用计算随机事件概率的各种方法.

本题的有关内容及计算方法见提高篇21.