2006年全国硕士研究生入学统一考试试题

2006年全国硕士研究生入学统一考试试题

一、填空题：第（1）～（6）小题，每小题4分，共24分.

（2）设函数f（x）在x=2的某邻域内可导，且f′（x）=e^f（x），f（2）=1，则f‴（2）=____.

（3）设函数f（u）可微，且，则z=f（4x²-y²）在点（1，2）处的全微分dz||=____.

（4）设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则|B|=____.

（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P（max{X，Y}≤1）=____.

（6）设总体X的概率密度为，X₁，X₂，…，X_n为总体X的简单随机样本，其样本方差为S²，则E（S²）=____.

二、选择题：第（7）～（14）小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

（7）设函数y=f（x）具有二阶导数，且f′（x）>0，f″（x）>0，Δx为自变量x在点x₀处的增量，Δy与dy分别为f（x）在点x₀处对应的增量与微分，若Δx>0，则

（A）0<dy<Δy.（B）0<Δy<dy.（C）Δy<dy<0.（D）dy<Δy<0.

[ ]

（8）设函数f（x）在x=0处连续，且，则

（A）f（0）=0且f′_-（0）存在.（B）f（0）=1且f′-（0）存在.

（C）f（0）=0且f′₊（0）存在.（D）f（0）=1且f′₊（0）存在.

[ ]

（9）若级数收敛，则级数

（A）收敛.

（B）收敛.（C）收敛.

（D）收敛.

[ ]

（10）设非齐次线性微分方程y′+P（x）y=Q（x）有两个不同的解y₁（x）和y₂（x），C为任意常数，则该方程的通解是

（A）C[y₁（x）-y₂（x）].（B）y₁（x）+C[y₁（x）-y₂（x）].

（C）C[y₁（x）+y₂（x）].（D）y₁（x）+C[y₁（x）+y₂（x）].

[ ]

（11）设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φ_y（x，y）≠0.已知（x₀，y₀）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若f_x（x₀，y₀）=0，则f_y（x₀，y₀）=0.

（B）若f_x（x₀，y₀）=0，则f_y（x₀，y₀）≠0.

（C）若f_x（x₀，y₀）≠0，则f_y（x₀，y₀）=0.

（D）若f_x（x₀，y₀）≠0，则f_y（x₀，y₀）≠0.

[ ]

（12）设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是

（A）若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关.

（B）若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关.

（C）若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关.

（D）若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关.

[ ]

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记，则

（A）C=P^-1AP.（B）C=PAP^-1.（C）C=P^TAP.（D）C=PAP^T.

[ ]

（14）设随机变量X服从正态分布N（μ₁，σ²₁），随机变量Y服从正态分布N（μ₂，σ²₂），且

P（X_-μ1<1）>P（Y-μ₂<1），

则必有

（A）σ₁<σ₂.（B）σ₁>σ₂.（C）μ₁<μ₂.（D）μ₁>μ_2.

[ ]

三、解答题：第（15）～（23）小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

设，x>0，y>0.求：

（Ⅰ）

；

（Ⅱ）

（16）（本题满分7分）

计算二重积分，其中D是由直线y=x、y=1、x=0所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0<a<b<π时，

bsin b+2cos b+πb>asin a+2cos a+πa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M（1，0），其上任意点P（x，y）（x≠0）处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.

（Ⅰ）求L的方程；

（Ⅱ）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值.

（19）（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数s（x）.

（20）（本题满分13分）

设四维向量组α₁=（1+a，1，1，1）^T，α₂=（2，2+a，2，2）^T，α₃=（3，3，3+a，3）^T，α₄=（4，4，4，4+a）^T，问a为何值时，α₁，α₂，α₃，α₄线性相关？当α₁，α₂，α₃，α₄线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=（-1，2，-1）^T，α₂=（0，-1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解.

（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；

（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q^TAQ=Λ；

（Ⅲ）求A及，其中E为三阶单位矩阵.

（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

令Y=X²，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数.求：

（Ⅰ）Y的概率密度f_Y（y）；

（Ⅱ）Cov（X，Y）；

（Ⅲ）.

（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

其中θ是未知参数（0<θ<1）.X₁，X₂，…，X_n为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x₁，x₂，…，x_n中小于1的个数.求：

（Ⅰ）θ的矩估计；

（Ⅱ）θ的最大似然估计.