习 题
1.1 试分别写出图X1.1中所示图形的函数表达式。
图X1.1 习题1.1各函数图形
1.2 试证明下列各式。
1.3 计算下列积分式。
1.4 计算下列各式的一维卷积。
1.5 试采用图解分析方法计算下列函数的卷积（或相关），并画出卷积或相关运算后的函数图形。
（1）图X1.2所示的两个函数的卷积：f（x）*h（x）
图X1.2 习题1.5（1）的两个函数
(2)
(3)
1.6 试用卷积定理计算下列各式。
(1)sinc(x)*sinc(x) (2)F{sinc(x)sinc(2x)}
1.7 求下列各函数的傅里叶变换。
(1)rect(5x-15) (2)f(ax-b)
（3）
，并求出当ε→0+时该变换的极限。
1.8 定义：
分别为原函数f（x，y）及其频谱函数F（fx，fy）的“等效面积”和“等效带宽”，试证明：
Δxy·Δfxfy=1
上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。
1.9 证明：
g(x)⊗cos(2πf0x)=|G(f0)|cos[2πf0x-φ(f0)](https://www.daowen.com)
其中，g（x）为实函数，G（fx）为g（x）的频谱。
1.10 证明：
式中，
，称为拉普拉斯算子。
1.11 试利用帕色渥定理分别计算下列积分。
1.12 设变换算符FA{·}和FB{·}由下式定义：
（1）求出FB{FA{g（x，y）}}的简单表达式；
（2）说明对于a＞b和a＜b两种情形，其结果的意义（设a，b＞0）。
1.13 试证明在极坐标系下，对于圆对称函数有：
(1)
（2）在a≤r≤1时，若fR（r）=1，而其他地方为零，则
B{fR(r)}=[J1(2πρ)-aJ1(2πaρ)]/ρ
(3)B{cos(πr2)}=sin(πρ2)
1.14 表达式
定义了一个周期函数，它在x方向的周期为X0，在y方向的周期为Y0，现令g（x，y）=
，试画出函数p（x，y）的图形，并求出p（x，y）的傅里叶变换式。
1.15 试求如图X1.3所示函数的一维自相关。
图X1.3 习题1.15函数
1.16 试计算函数f（x）=rect（x-3）的一阶矩。
1.17 证明：圆域函数遵从下述采样定理。
该圆域函数在频率平面上的一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量。