充分条件(A B)
B)
1.1什么是充分条件
先看两个例子。
例①:
张三说:“只要女孩子漂亮,我就喜欢。”
【分析】
本例中,想让张三喜欢一个女孩子,她只要漂亮就足够了,不再需要别的条件了。“足够”我们又可以称为“充分”。因此,“女孩子漂亮”就是“张三喜欢”的充分条件。可以记为:
女孩子漂亮→张三喜欢。
其中,“→”读作“推出”,意思是:如果“女孩子漂亮”这件事情发生,就一定能推出“张三喜欢”这件事情发生。
例②:
如果下暴雨,那么地上会湿。
【分析】
本例中,对于“地上湿”来说,只要具备“下暴雨”这个条件就足够了。因此,“下暴雨”就是“地上湿”的充分条件。可以记为:
下暴雨→地上湿。
其中,“→”读作“推出”,意思是:如果“下暴雨”这件事情发生,就一定能推出“地上湿”这件事情发生。
如果我们用事件“A”代表上述两个例子中的“女孩子漂亮”或者“下暴雨”,用事件“B”代表“张三喜欢”或者“地上湿”,那么,上述两个例子均可以符号化为:
A→B。
也就是说,“如果A,那么B”表示充分条件,可符号化为“A→B”,读作“A推B”,它的含义是:对于B来说,有A这个条件就足够了(有它就行),即假如事件A发生了,事件B一定发生。其中,“A”称为前件,“B”称为后件。
【口诀1】充分条件前推后
1.2逆否命题
看下面两个判断:
判断①:如果下暴雨,那么地上会湿。可符号化为:下暴雨→地上湿。
判断②:如果地上没湿,说明没下暴雨。可符号化为:地上没湿→没下暴雨,即:┐地上湿→┐下暴雨(“┐”读作“非”,即否定词)。
由判断①可知,若“下暴雨”这件事情发生,一定可以推出“地上湿”这件事情发生,那么,若“地上湿”这件事情没有发生,显然“下暴雨”这件事情也没有发生,可符号化为:┐地上湿→┐下暴雨。可见,判断①与判断②的含义等价,即(如图2-2所示):
图2-2
观察图2-2,可知上面两个判断(判断①、②)中的箭头方向是反着的(逆),而“地上湿”变成了“┐地上湿”,“下暴雨”变成了“┐下暴雨”,因此,我们把判断②称为判断①的逆否命题,并有口诀如下:
【口诀2】逆否命题等价于原命题
典型例题
例1 请写出下列判断的逆否命题。
(1)只要不作死,就不会死。
(2)一旦摄入过多脂肪,就会变胖。
(3)水烧到了100℃,就会沸腾。
【解析】
(1)符号化:不作死→不死,即:┐作死→┐死,等价于:作死←死,即:死→作死。
即:如果一个人死了,说明他作死。
(2)符号化:摄入过多脂肪→变胖,等价于:┐摄入过多脂肪←┐变胖,即:┐变胖→┐摄入过多脂肪。
即:如果没有变胖,说明没有摄入过多脂肪。
(3)符号化:烧到100℃→沸腾,等价于:┐烧到100℃←┐沸腾,即:┐沸腾→┐烧到100℃。
即:如果水没沸腾,说明没烧到100℃。
1.3箭头指向原则
如前文所述,充分条件“A→B”的含义是“有它就行”,意思是有了“事件A”这个条件,“事件B”一定会发生。那么,如果事件A不发生呢?
再次看之前的例子:
如果下暴雨,那么地上会湿。
即(如图2-3所示):
图2-3
由图2-3可得表2-1:
表2-1
由表2-1可知:
①如果“‘下暴雨’这个事件不发生”,即如果没下暴雨,则地上可能不是湿的,也可能是湿的(比如其他原因导致地上湿)。所以,对于充分条件来说,有它就行,没它未必不行。
②如果地上湿了,则一定是下暴雨了吗?也未必,比如地上湿的原因可能是下雪、洒水等。
可见,“没下暴雨”和“地上湿”后面没有箭头,由此推不出任何结论。
总之,若已知一个假言判断为真,去判断另外一个假言判断的真假时,我们可以使用以上原则去判断,即“箭头指向原则”,口诀如下:
【口诀3】有箭头指向则为真,没有箭头指向则可真可假
1.4充分条件的常见关联词
下列例句均表示充分条件。
以上句子都可以改写为“如果……,那么……”的句式:
如果有钱,那么任性。
如果不作死,那么不会死。
如果我爱你,那么我嫁给你。
如果水烧到了100℃,那么会沸腾。
如果下雨,那么有云。
如果欲速,那么不达。
如果听了老吕的课,那么一定能考上。
如果你行,那么你上。
考试时,若无法确定一个句子是否为充分条件,可试一下其是否可以替换成“如果……,那么……”的句式,能写成此句式且仍不改变句子原意的,就可以断定其为充分条件。
典型例题
例2 只要好好听课,就能提高成绩。
以下哪项准确地表达了上述断定?
Ⅰ.如果成绩没有提高,说明没有好好听课。
Ⅱ.如果成绩有所提高,说明一定好好听课了。
Ⅲ.如果不好好听课,就无法提高成绩。
A.仅Ⅰ。 B.仅Ⅱ。 C.仅Ⅲ。
D.仅Ⅱ和Ⅲ。 E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
【解析】
第1步:符号化。
由题干关联词“只要……就……”,可知题干为充分条件,根据口诀“充分条件前推后”,将题干符号化为:①好好听课→提高成绩。
第2步:写出题干的逆否命题。
题干的逆否命题为:②┐提高成绩→┐好好听课。
第3步:根据“箭头指向原则”,判断3个判断的真假情况。
Ⅰ项,┐提高成绩→┐好好听课,是题干的逆否命题(即②),又因为逆否命题等价于原命题,故本判断为真,准确地表达了题干的断定。
Ⅱ项,提高成绩→好好听课。由①可知,“提高成绩”后面没有箭头指向“好好听课”,故本判断可真可假,没有准确地表达题干的断定。
Ⅲ项,┐好好听课→┐提高成绩。由②可知,“┐好好听课”后面没有箭头指向“┐提高成绩”,故本判断可真可假,没有准确地表达题干的断定。
【答案】A