相容选言判断(AB)
B)
2.1什么是相容选言判断
“选”的意思就是选择,“相容”的意思是可以都选,因此,相容选言判断的意思就是你要选而且可以都选。
例如:
你男朋友或者是一博,或者是于晏。
这个判断的意思是你的男朋友要从一博和于晏中选择,而且,这两个选择是“相容”的,你可以都选。这个判断可以用“你男朋友是一博∨你男朋友是于晏”来表示。
可见,相容选言判断A∨B,读作“A或者B”,它的意思是事件A和事件B至少发生一个,也可能都发生。其中A、B称为肢判断,A∨B称为干判断。
【例句】
2.2相容选言判断的真假
看下面的例子:
小王考上了∨小李考上了。
根据A∨B的定义,即A、B至少发生一个,也可能都发生,可知小王考上、小李考上这两个事件发生一件或发生两件,都可推出上述判断为真;而如果小王和小李都没考上,则上述判断为假。可画成真值表,如表2-6所示:
表2-6
可见:
若已知(A真∧B假)或者(A假∧B真)或者(A真∧B真),可推出A∨B为真。
若已知A假∧B假,可推出A∨B为假。
2.3相容选言判断的负判断
根据上述“相容选言判断的真值表”(即表2-6),若已知干判断“A∨B”的真假情况,即真值表中从右往左推,可知:
①若已知A∨B为真,则有三种可能:A真B假、A假B真、A真B真,但不确定具体发生了哪种可能。
②若已知A∨B为假,则A假∧B假。
可见:
“A∨B”为假,等价于,“A假∧B假”,即:┐(A∨B)＝┐A∧┐B。
故:“A∨B”与“┐A∧┐B”矛盾。
故,若已知干判断“A∨B”的真假,则有表2-7:
表2-7
典型例题
例11 已知“小王考上了北大,或者小李没考上清华”为假,判断下列判断的真假。
(1)小王考上了北大。
(2)小王没考上北大。
(3)小李考上了清华。
(4)小李没考上清华。
(5)小李考上了清华,或者小王考上了北大。
【解析】题干:“小王考上了北大∨小李没考上清华”为假,故“┐(小王考上了北大∨小李没考上清华)”为真。
┐(小王考上了北大∨小李没考上清华)＝(┐小王考上了北大∧┐小李没考上清华),即:┐小王考上了北大∧小李考上了清华,故有:小王没考上北大、小李考上了清华。所以(2)、(3)为真,(1)、(4)为假。
(5)小李考上了清华∨小王考上了北大,已知“小李考上了清华”为真,故此判断为真。
德摩根定律
上文中我们学了两个公式:┐(A∧B)＝┐A∨┐B和┐(A∨B)＝┐A∧┐B,这两个公式其实就是我们高中数学学过的德摩根定律。这里的A和B分别代表一个判断,A、B既可以是肯定的判断,也可以是否定的判断。
例如:
┐(王考上∧李没考上)＝┐王考上∨李考上;
┐(王考上∨李没考上)＝┐王考上∧李考上;
┐(A∧┐B)＝┐A∨B;
┐(A∨┐B)＝┐A∧B。
观察规律可以有以下口诀:
【口诀9】并且变或者,或者变并且。肯定变否定,否定变肯定。
2.4箭头与或者的互换
(1)或者变箭头(“∨”变“→”)
A或者B(A∨B)的意思是A、B至少发生一个。利用排除法,若A不发生,必有B发生;若B不发生,必有A发生。即:
(A∨B)＝(┐A→B)＝(┐B→A)
例如:
已知这起谋杀案的凶手是张三,或者是李四。现又经调查得知凶手不是张三,可推知:凶手是李四。
符号化为:(张三∨李四)＝(┐张三→李四)。
(2)箭头变或者(“→”变“∨”)
矛盾的判断必有一真,必有一假,所以“A”和“┐A”必有一真一假,无论“A”和“┐A”哪个为真都能推出“A∨┐A”为真,故“A∨┐A”必然为真,是永真式。
例如:
你考上了研究生∨你没考上研究生,必为真。
这是一条狗∨这不是一条狗,必为真。
今天下雨∨今天不下雨,必为真。
永真式是永远为真的,相当于是个默认条件。
例如:
已知:如果下雨,那么地湿。
又有默认条件:或者“不下雨”发生,或者“下雨”发生。而如果下雨,地上一定会湿。故或者不下雨,或者下雨从而有地湿。
可写成如下公式:
下雨→地湿＝┐下雨∨地湿。
同理,如果已知A→B,又有默认条件┐A∨A。可知,或者┐A发生,或者A发生从而有B发生。故有:┐A∨B。
即:
┐A∨A;
A→B;
所以,┐A∨B。
故有:
(A→B)＝(┐A∨B)
典型例题
例12 除非调查,否则就没有发言权。
以下各项都符合题干的断定,除了:
A.没有调查,就没有发言权。
B.调查,才有发言权。
C.或者调查,或者没有发言权。
D.如果有发言权,则一定做过调查。
E.如果调查,就一定有发言权。
【解析】题干:根据口诀“去‘除’去‘否’,箭头右划”,可得:┐调查→┐发言权＝发言权→调查。
A项,┐调查→┐发言权,与题干相同。
B项,调查←发言权,与题干相同。
C项,调查∨┐发言权,等价于:┐调查→┐发言权,与题干相同。
D项,发言权→调查,与题干相同。
E项,调查→发言权,根据“箭头指向原则”,可知此项与题干不符。
【答案】E
例13 并非雅典奥运会既成功又节俭。
如果上述判断为真,那么以下哪项也必为真?
A.雅典奥运会成功但不节俭。
B.雅典奥运会节俭但不成功。
C.雅典奥运会既不节俭也不成功。
D.如果雅典奥运会不节俭,那么一定成功了。
E.如果雅典奥运会成功了,那么一定不节俭。
【解析】┐(成功∧节俭)＝(┐成功∨┐节俭)＝(成功→┐节俭)＝(节俭→┐成功)。
故E项,“如果成功,那么不节俭”为真。
【答案】E