1.平均值与方差
(1)什么是平均值和方差?
平均值用来表示一组数据的集中趋势,它是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。
即:
方差用来衡量一组数据的离散程度。换言之,方差其实反映的是某组数据的稳定性。
即:
(2)平均值与方差的区别
关于平均值和方差的区别,我们举例来说明。
例如:
工业中学的两名学生小张和小赵,两人成绩都十分优秀。本学期的五次模考,小张均是95分,小赵的五次模考成绩分别为91、99、92、98、95分。学校准备从两人中选出一人参加山钢市的学科竞赛。班主任老李计算平均分时发现两人的平均分相等,但是考虑到小赵的最高分是98分,比小张的最高分更高,由此他断定,小赵是参加此次学科竞赛的最佳人选。
【分析】
上例中的基本结构如下:
在平均成绩都一样的情况下,老李断定最高分更高的小赵是最佳的参赛人选,看似合乎情理,实则老李得出结论的过程存在问题。因为,小张的最高分虽然不如小赵,但他的稳定性更强,有可能小张才是最佳的参赛人选。
通过上述例子,让大家明白,方差和平均值在实际应用中的区别之处在于:方差能反映离散程度(稳定性),平均值只是反映一个趋势。
典型例题
例13 东升商城公关部职工的平均工资是营业部职工的2倍,因此,公关部职工比营业部职工普遍有较高的收入。
以下哪项如果是真的,将最能削弱上述论证?
A.公关部职工的人均周实际工作时数要超过营业部职工的50%。
B.按可比因素计算,公关部职工为商城创造的人均价值是营业部职工的近10倍。
C.公关部职工中最高工资与最低工资间的差别要远大于营业部职工。
D.公关部职工的人数只是营业部职工的10%。
E.公关部职工中有20%享受商城的特殊津贴,营业部职工中则有25%享受此种津贴。
东升商城公关部职工的平均工资高,可能是由于少数人的工资特别高从而拉高了所有人的平均值,并不能说明他们的职工“普遍有较高的收入”,因此C项能很好地削弱题干。
C项其实表达的就是方差的含义:方差越大,说明样本的离散程度越大;反之,样本的离散程度越大,方差越大。
【答案】C
例14 陈娜和杨玲一起上了五门课,但其中只有一门课她俩的成绩相同——金融市场,她们每门课的成绩都在60～100分之间。
以下哪项如果为真,可以断定陈娜的总成绩高于杨玲?
A.陈娜的某科成绩高于杨玲的任何一科。
B.杨玲的最高成绩低于陈娜的最高成绩。
C.陈娜有三门课的成绩比杨玲的高。
D.陈娜的金融市场这门课的成绩最低,而杨玲的金融市场这门课的成绩最高。
E.陈娜的最高成绩和杨玲的最高成绩都是经济学。
【解析】由题干可知,陈娜和杨玲只有金融市场这门课的成绩相同,结合D项,陈娜的金融市场这门课的成绩最低,而杨玲的金融市场这门课的成绩最高,说明除了金融市场这门课的成绩相同外,陈娜所有科目的成绩都比杨玲高,可以推出陈娜的总成绩高于杨玲,故D项正确。
【答案】D