计算

数学方法是随同书写一起发展起来的，而且是出自同样一些实际需要。古希腊历史学家希罗多德早就做过这样的判断，他认为几何学（“测地学”）起源于埃及，因为在尼罗河泛滥过后需要重新丈量土地。按照这样的思路，在灌溉农业生产出多余的农产品以后，才开始有第一批货币（在古巴比伦和中国商朝）和第一批衡器及量器（在古埃及、印度河流域以及早期中国）。虽然纯粹数学后来成为数学家玩的抽象技巧，但我们仍可以从它的应用中看到产生早期数学的实用的、经济的和技艺的根源。

每一种早期文明都有自己的数学体系。古代苏美尔人和巴比伦人发明过一种六十进制，即一种以60为基数的计数制（我们现在用的是以10为基数的十进制）。那种计数制虽然还不完全自洽，而且起初还没有0，但它是第一个位值制系统，位数代表60的幂次。六十进制在今天还留有痕迹，如一小时等于60分钟，一分钟等于60秒；一个圆分为360°。与此不同，埃及的数同后来的罗马数字相似，每一个十进位数由不同的数字组成，没有位值。这样的数制相当麻烦，处理埃及文明所需要的计算，效率并不高。

图3.6　巴比伦和埃及的数制。不同的文明发展出不同的数制和计算方法。巴比伦的数制是一种以60为基数的位值制，有代表数值1和10的数符。埃及的象形数符代表10的值，让人想起后来的罗马数字。没有一种文明没有记录数值信息的系统。

关于数学运算，巴比伦数学家用的是数表，如乘法、倒数、平方、立方、毕达哥拉斯三角形等，可以进行许多复杂计算；其中采用犹如配制药剂一样的步骤可以计算复利利息和求解二次、三次方程。在古埃及，有一种“加倍法”，即采取对一个数二倍、再二倍的方法来进行乘法运算，若配合罗马式数字系统，运算起来特别快捷。古埃及的数学家得到了非常精确的π值［256/81或3.16，而巴比伦数学和《圣经》（the Bible）上才有一个粗略值3］，而且发明了一些计算分数特别方便的数表。(https://www.daowen.com)

在任何一种早期文明中，数学家关注的问题都反映了他们的实践和功利取向。工程和供应问题总是主要的，通常要提出数学方案，却几乎不会涉及对数的抽象理解。一般说来，求解结果是得到一个“配方”（“加2杯糖，1杯牛奶，等等”），颇像计算机程序处理一个方程（“a的平方，a×b，将a2和ab相加”）。虽然我们不知道“配方”是如何得到的，但他们在计算上是严谨的，而且能够得到正确结果。

抽象数学尚待希腊人去发明。不过也有不多的例证表明存在着一些非常艰深却又没有实用目的的“玩意儿”，它们显然属于早期书写人取得的成就。例如，在巴比伦，数学家计算2的平方根可以精确到相当于6位小数，当时的工程或实用计算无论如何也不需要这样高的精确度。同样，在中国，老练的数学家把π计算到毫无用处的、达到7位小数的高精确度。尽管如此，从他们研究的广泛内容看，这些导致抽象数学的工作仍然是瞄准了实用目标。在古美索不达米亚，指数函数表，就像2的平方根的过分精确的近似值一样抽象，事实上，它是用来计算复利的，而二次方程则是在解决别的问题时得出来的。求解线性方程是为了解决遗产分配和土地划分问题。建筑材料的系数表可能一直被用来快速计算承载能力。贵金属系数和货品系数也许另有实际应用。计算体积反映了几何学的迷人魅力，其实也应用于修筑水渠和其他基础设施。