正义的数学
在性情德性的情形中，两种限定的过恶即过度和不足，都是从关于两端之间的值得称赞的中庸的原初说明中推演出来的。相比之下，不正义这种单一的过恶却提供了一个起点，从它出发才能推出正义的美德：我们称之为“不正义”的，或者是对法律的破坏，或者是某人试图占有比他应得的份额更多的东西。因此，亚里士多德推断说，正义的完整含义应该既包含合乎法律的意思，也包含公平这样一种特殊的含义。于是，这就从一开始就使得双重的推导方向成为可能：一方面，它带起了对任何一种只要是声称代表了正义的政治共同体的法律的初始（initial）辩护，另一方面，［96］它也开启了对于公平的准数学分析，这种分析预设了一种独立于任何政治观点和灵魂激情的客观的规定性。
虽然说把一个犯法的人称为不正义之人可能是对的，[66]但是，如果把正义等同于守法的话，就似乎是一种蕴含着危险的观点，因为，无论一邦的法律是什么，只要遵守它就足以使一个人成为正义之人，而且，如果正义是完整的美德，那么这样一个人就成了拥有全部卓越的人。第五卷的论述运动过程恰好可以被理解为一种要把这种观点置诸问题的努力。[67]然而，亚里士多德从一开始就带着有他个人特点的遣词造句（with his signature adverb of qualification）来参与这场论述运动：所有合法的事物都在某种意义（pōs）上是正义的事物（1129b12）。[68]毕竟，法律的目的是所有人的共同利益，或者——亚里士多德立即补充说——体现的是统治者的利益，或者是与美德一致的，或者与其他标准一致（1129b14-17）。这是以一种偶然提及的方式承认了那种以正义为统治者利益的正义定义。这种定义导致忒拉叙马霍斯把正义贬低为只有弱者和傻瓜才愿意去履行的东西（《王制》338c-339a）。
因为法律要求人去做的行为是合乎美德的，禁止人去做的行为是符合过恶的，所以这些行为被认为是构成了“差不多大多数法律性的事物”（1130b22-23）。值得注意的是，法律几乎都是用禁止的方式来表述的——不要擅离职守，不要放下武器，不要通奸，不要口出恶言（speak badly，1129b19-24）。亚里士多德没有明确提出这个问题：如果法律的训令和禁令与美德和过恶——后者可以独立于法律之外得到确定——不相符合的话，那么，仅仅是遵守法律的人是否可以算是正义之人？不过，他却是明示了，即使符合的话，出于守法而做的行为还是完全不同于出于追求中庸的内在品质的行为，其中的原因便在于美尚：亚里士多德终究会认为，出于畏惧惩罚的守法行为在任何本质的意义上都不能被视为正义的行为（1137a9-14）。
在整体意义上的正义之外还有特殊意义上的正义，这一点是从对于那种把不正义与求利或得利之乐的过恶区别开来的特殊驱动力的认识中推断出来的（1130b4-5）。而且，如果不正义意味着占有比自己应得的份额更多的东西，那么正义就必然是公平——正如它无需任何论证就能向所有人显示的那样（1131a13-14）。首先，这种无需辩护的、普遍同意的单纯性，覆盖了亚里士多德将要对之进行区分的两种形式：［97］分配的正义和矫正的正义。分配正义的任务是当共同体中可用的物品有限的时候，按照几何学比例的原则来实施分配，俾使平等的份额分配给平等的主体，不平等的份额分配给不平等的主体；矫正的正义则是根据算术的比例原则来改正人际交往中对公平的侵犯，俾使一方所遭受的不公正的损失从另一方拿过来补偿，无论所涉双方主体在价值上有何不同（1130b30-1131a11）。
在说明分配正义的数学的时候，亚里士多德的所有做法似乎都只是几何学比例的应用，诸如平等的主体获得平等的份额，不平等的主体获得不平等的份额，无论在共同体的哪方面权益上都是如此，如政治职务、荣誉、财富、安全等等。但是，即使所有人都同意这个原则，基本的问题还是明摆着：什么东西的平等或不平等？在《政治学》中，亚里士多德把这个问题视为真正引起“困惑和政治哲学”的问题，而且他的讨论反映了这个问题可能引发的严重分歧和敌意。[69]对于《伦理学》中分配正义的论述来说，必须承认在民主制、寡头制或贵族制中，用以衡量平等的尺度是不同的；但是，《政治学》所提出来的与那些不同相伴随的现实政治力量和人类诸般激情，却都是在《伦理学》所提出的关于比例公平的形式原则的数学分析统摄之下的。
在《伦理学》关于矫正性正义的论述中，那种用数学分析来对政治现实和人类激情进行的统摄采取了另一种形式。根据这一论述，不正义就是在人际交往中对平等的侵犯，而为了矫正它所需要的全部东西就是计算一方多占的部分，把它补偿给损失了相应数量的一方，于是，平等就得到了恢复。因为所有这一类情形都可以称为矫正的正义，所以亚里士多德承认，“得”“失”的意义范围都必须突破它们的日常用法，以便既可用于意愿性的交往，也可用于非意愿的交往（1132a11-14，1132b11-20）。当我们发现非意愿的情形是由投毒、谋杀、抢劫等行为得到说明的时候，我们会感到震惊：受害者毕竟不是自愿地放弃生命或财产的！我们立刻就认识到，被放到“非意愿交往”这个名目之下的，是所有犯罪的类型，虽然矫正的正义对于这些［98］侵犯方式的处理只不过是要求补偿损失，此外一无所求。补偿通过计算来得到理性的确定；但是，犯罪行径必须得到惩罚，而作为欲求惩罚之源的激情是thumos，但thumos已经公然在此消失了。完全从罪与罚中抽身，亚里士多德的分析因而磨平了正义的尖刺。[70]
所有犯罪行为都归属在“非意愿交往”之下，同时还要在其中做出一种区分——一些行为是偷偷摸摸的，另一些则是公然的暴力行为——这种区分似乎并不是为了把一种矫正正义区别于另一种形式的矫正正义（1131a6-9）。这个区分是在柏拉图的《法义》中，雅典来的外邦人在构建一种惩罚性的法律时遭遇到如下问题的时候提出来的：一方面这种法律对于城邦来说是必不可少的，另一方面，如果要维持苏格拉底式假设——美德确实是涉及知识的事情，而过恶不过出于无知，因而对于过错的正确反应就应该是教育，而不是惩罚——的话，这种法律就成为不可能了。那么，立法者怎样才能为一种惩罚性的法律辩护呢，如果这种法律必须依赖对于有意犯罪行为和无意行为之间的区分？对于此种区分，外邦人提出了一个替代区分，就是偷偷摸摸的秘密行为和公然暴力行为之间的区分。不过，情理之中的是，外邦人的对话伙伴还是对怎样解决这个问题感到困惑：如何才能证明，只惩罚有意的犯罪行为这种做法是对的（《法义》864c）。[71]
亚里士多德既然采用了秘密行为和公开行为的区别，就把非意愿交往划分成了两个类别，一起构成与意愿行为的对比。对这些行为，他似乎是随意地给出了一些例子，但它们实际上是足够系统性的，以至于三类行为中的每一类都被分配了七个例子。位居正中的例子是“撮合”（pandering，proagōgeia，拉皮条）。[72]根据柏拉图笔下的苏格拉底，由于害怕自己所做的撮合之事受到指控，所以，接生婆会隐藏她在配鸳鸯（matchmaking）方面的真实技能。而苏格拉底发现自己作为年轻人灵魂上的接生婆，也处在相同的处境中。这是苏格拉底在他接受审判和走向死亡之前不久为自己构建的形象。[73]人们禁不住会想，亚里士多德把它（拉皮条）置于那些需要矫正性正义来矫正的诸种非意愿交往正中的位置，究竟是不是毫无意义的？
分配的正义和矫正的正义被提出之后，似乎这两种形式就穷尽了特殊意义上的正义。然而，那两种分析刚一结束，就立刻引入了［99］回报或相互性的概念。毕达哥拉斯派就直接把这种概念当作正义（1132b21-23）。拉达曼提斯（Rhadamanthys）的正义——一个人必须承受他所做的事情——听起来像是矫正的正义；但它并不分享平等的原则，根据那种原则，不公平的所得必须被拿走，而损失一方必须受到补偿，无论行为的意图如何，以及涉事主体状况如何。相比之下，相互性要求分别处理意愿行为和非意愿行为，而且要求考虑到不义行为人的情况：一个臣属不能对他的首领还手，而首领对臣属不只可以还手，还能做更多的事情（1132b28-30）。如果矫正的正义所要做的事情，只是无论如何要改正不正义的交换，那么，必定有一个先验原则使得一种交换是正义的交换，而这看来就是相互性所起的作用了。虽然这不是分配正义的事，但它也分享比例公平的原则。而且，亚里士多德补充道，正是这个原则把城邦维持在一起。这一点很快就会通过联系到一个基于劳动分工的交换系统来进行说明，但亚里士多德首先要通过另一种基础来支持它：只要人们认为他们不能以伤害回报伤害，他们就会觉得像是奴隶（1132b33-1133a2）。相互性听起来像是一种理性的计算——以眼还眼——但是，标识相互性的报复欲望并不能追溯到理性，而是追溯到对奴隶生活的充满意气的（spirited）抵制。
然而，这种对于政治共同体团结的理解只是略有显露而已，它很快就被那种从经济交换中的比例公平原则出发来解释的相互性概念所代替了。[74]根据这种解释，城邦的团结是自然需求的现实；但是，自然需求得以表达的中介是通货（vehicle），也就是钱，而正如钱的名称（nomisma）所表明的那样，它是习俗的产物。自然本身无能为力的事情，习俗的产物使之成为可能——那便是商品的可公度性（commensurability）。没有可公度性就没有平等，没有平等就没有交换，没有交换就没有共同体。如果polis［城邦］只被降低到前政治的交换领域的话，这种形式的相互性就足以满足团结之需了。对于这种形式的相互性概念的局限性，亚里士多德在开始讨论由惩罚的要求所展现出来的相互性概念时就有所暗示——后一种相互性根植于自由感觉的需要。