例75  长方四棱锥体的展开

1）按已知尺寸做出主、俯两视图，并把主视图中锥顶点标为O，锥底各端点标为A（D）、B（C），俯视图中锥顶点标为O′，锥底各端点标为A′、B′、C′、D′（见图2-157）。

图2-157 长方四棱锥体的展开图

2）求做棱线的实长（从俯视图中看到，此长方四棱锥体表面是由对面相等的两对三角形组成，所组成这两对三角形即四个三角形的棱线长都是相等的。所以在求做棱线实长时，只需求做一条棱线实长即可。因为长方四棱锥体表面是由四个三角形所组成，所以就不必再做辅助线，直接就可以利用三角形展开法来求做展开）：①做主视图锥底线段AB向右引的延长线，并过锥顶O点做线段AB延长线的平行线。在锥顶O点所引的平行线上选点O₁，过O₁点做线段AB延长线的垂线，交主视图锥底线段AB延长线上的点为K₁。②以K₁点为圆心，俯视图中棱线A′O′为半径画弧，与主视图锥底线段AB延长线交于点A₁。过A₁点做线段与O₁点相连，那么所得的线段长就是棱线的实长。③根据线段投影特性可知，俯视图中线段A′B′、B′C′、C′D′、D′A′均表示实长，展开时可直接应用。

3）展开步骤：①在适宜位置做锥底线段AB，长为俯视图中线段A′B′的长。②以线段上的A点为圆心，棱线实长为半径画弧；再以线段上的B点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点O。过O点分别做线段与A点和B点相连。③以B点为圆心，俯视图中锥底线段B′C′为半径画弧；再以O点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点C。过C点分别做线段与B点和O点相连。④以C点为圆心，俯视图中锥底线段C′D′为半径画弧；再以O点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点D。过D点分别做线段与C点和O点相连。⑤以D点为圆心，俯视图中锥底线段D′A′为半径画弧；再以O点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点A。过A点分别做线段与D点和O点相连。

那么相连后的图形即为长方四棱锥体的展开图。