例86  上圆倾斜的天圆地方体的展开

1）按已知尺寸做出主、俯两视图，并把主视图上各端点标为A（F）、B（G）、D、E（H）、C，俯视图上各端点标为A′、B′、D′、E′、C′、F′、G′、H′（见图2-168）。

根据线段投影特性可知俯视图中地方各线段均表示实长，展开时可直接应用。

图2-168 上圆倾斜的天圆地方的展开图

2）求做棱线及辅助线的实长（上圆倾斜的天圆地方体表面是由八条过渡线（即棱线）连接四个平面和四个曲面而组成的，所以在求做展开时，要把每个曲面部分做几条辅助线，使每个曲面适当分割成几个小三角形。因为此天圆地方体的天圆是倾斜的，所以天圆反映在俯视图中的图形是椭圆。为了准确求做出辅助线和棱线的实长，必须对俯视图中的天圆的椭圆图形中辅助线连接点进行确定，确定方法就是应用三视图中的找点画线对应交点的方法。由于天圆在俯视图中所处中心位置，所以图形在俯视图中反映的是上下左右对称，在求做棱线及辅助线实长时，只需做出一半即可）：①以主视图上端天圆斜线段中点E为圆心，斜线段CD为直径做天圆的半圆，并把半圆六等分，等分点为1、2、3、4、5、6、7点。过七个等分点做线段CD的垂线，交线段CD上的点为1（即C点）、2、3、4（即E点）、5、6、7点（即D点）。过这七个交点向下做主视图地方线段AB的垂线，垂线也垂直于俯视图地方线段A′B′。②过俯视图中地方的中心做一条平行于俯视图中地方线段A′B′的平行线。③主视图中斜线段CD上7点的下垂线与俯视图中的平行线相交，得交点D′。以这个D′点为圆心，往D′点下边做天圆的1/4圆，并把这个1/4圆周三等分，等分点为1′（7′）、2′（6′）、3′（5′）、4′点。过1′（7′）、2′（6′）、3′（5′）、4′点向左引俯视图地方线段AB的平行线，其中：1′（7′）点的平行线与过俯视图中心所画的平行线重合，主视图斜线段CD上1点和7点的下垂线与这条平行线交于点1′（即C′点）、7′（即D′点）点；主视图斜线段CD上2点和6点的下垂线与俯视图中2′（6′）点的平行线交于2′、6′点；主视图斜线段CD上3点和5点的下垂线与俯视图中3′（5′）点的平行线交于3′、5′点；主视图斜线段CD上4点的下垂线与俯视图中4′点的平行线交于点4′（即E′点）。用曲线圆滑连接俯视图中各平行线上的交点，就得到半个椭圆。再用同样方法补全上面的半个椭圆。过俯视图中半个椭圆周线上的2′、3′点做辅助线（用点画线连接，下同）与俯视图中地方A′点相连，过俯视图中半个椭圆周线上的5′、6′点做辅助线与俯视图中地方B′点相连。④做主视图地方线段AB向右引的延长线，并过天圆斜线段CD上等分点1、2、3、4、5、6、7做主视图地方线段AB的平行线。在7点所引的平行线上选点D₁，过D₁点向下做平行线的垂线，与主视图地方线段AB延长线交于点K₁。主视图天圆斜线段CD上等分点1、2、3、4、5、6的平行线与线段D₁K₁分别交于C₁、2、3、E₁、5、6点。⑤以K₁点为圆心，俯视图中的棱线A′C′、A′E′、B′E′、B′D′为半径分别画弧，四条弧线分别与主视图中地方线段AB延长线交于A₁（A₂）、B₁（B₂）点。那么A₁点至C₁点、A₂至E₁点、B₁点至E₁点、B₂至D₁的线段长就是此上圆倾的天圆地方底体表面的四条过渡线（即棱线）的实长。⑥以K₁点为圆心，分别以俯视图中2′点和3′点至地方A′点的辅助线长、5′点和6′点至地方B′点的辅助线长为半径画弧，四条弧线与主视图地方线段AB延长线相交，其中：2′点至A′点辅助线和6′点至B′点辅助线的长短一样，所以它们交线段AB延长线上的点为同一个，即2（6）点；3′点至A′点辅助线和5′点至B′点辅助线的长短一样，所以它们交线段AB延长线上的交点同为一个，即3（5）点。过2（6）点做线段与垂线的2点和6点分别相连，过3（5）点做线段与垂线的3点和5点分别相连，此时所得的四条斜线段长就是上圆倾斜的天圆地方体表面中曲面部分辅助线的实长。

3）展开步骤：①在适宜位置做地方底线段FA，长为俯视图中线段F′A′。②分别以线段上的F点和A点为圆心，棱线实长A₁C₁为半径画弧，两弧相交于点C（即1点）。过C点做线段分别与F点和A点相连。③以C点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径，往C点两边画弧；再分别以F点和A点为圆心，辅助线实长中的2（6）点至2点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个2点。过两个2点做点画线分别与F点和A点相连。④分别以两个2点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，辅助线实长中的3（5）点至3点长为半径画弧，与前两弧相交，得交点为两个3点。过两个3点做点画线分别与F点和A点相连。⑤分别以两个3点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，棱线实长A₂E₁为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为H点和E点（即4点）。过H点做线段与F点相连。过E点做线段与A点相连。⑥分别以H点和E点为圆心，棱线实长B₁E₁为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，俯视图中地方底线段A′B′为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为G点和B点。过G点做线段分别与F点和H点相连。过B点做线段分别与E点和A点相连。⑦分别以H点和E点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，辅助线实长中的3（5）点至5点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个5点。过两个5点做点画线分别与G点和B点相连。⑧分别以两个5点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，辅助线实长中的2（6）点至6点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个6点。过两个6点做点画线分别与G点和B点相连。⑨分别以两个6点为圆心，主视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，棱线实长B₂D₁为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个D点（即7点）。过两个D点做线段分别与G点和B点相连。⑩以右边的D点为圆心，棱线实长B₂D₁为半径画弧；再以B点为圆心，俯视图中地方线段B′G′为半径画弧，两弧交于点G。过G点做线段分别与D点和B点相连。

用曲线把上端各交点（即D、6、5、H、3、2、C、2、3、E、5、6、D点）圆滑连接，那么相连后的图形即是上圆倾斜的天圆地方体的展开图。