例115  圆管倾斜偏交圆锥管的展开

1）根据已知条件做出主、俯两视图，并在锥底两端标注A点和B点，锥顶标注O点（见图2-198a）。

2）求做两管相交的相贯线：从主、俯两视图中看到，两管相交的轴心线不在同一个圆心点上，且在视图上又不反映两管相交的具体位置，所以此例不适用球面法和素线法。又因为此例视图是圆管倾斜偏交圆锥管，所以不适用水平截平面和垂直截平面求做相贯线。故只能用斜切截平面法来求做相贯线。斜切截平面求做相贯线的方法步骤在前述中已有介绍，就是主管圆锥管被斜切的截面反映在俯视图中的投影是一个近似圆；支管圆管被切割后，反映在俯视图中的截面是一个两条边夹一面，支管圆管截面的两条边与圆锥管截面的近似圆相交，相交点即是相贯点。

图2-198 圆管倾斜偏交圆锥管的展开图 a）主俯视图和求做的相贯线

图2-198 圆管倾斜偏交圆锥管的展开图（续） b）圆管、圆锥管的展开图

求做相贯线的步骤：①在俯视图中做圆锥管底圆1/4圆周线的三等分，在1/4圆周线上得交点为1、2、3、4点。过1/4圆周线上这四个等分点做素线与锥顶O点相连，得素线四条O-Ⅰ、O-Ⅱ、O-Ⅲ、O-Ⅳ。②过俯视图中锥底1/4圆周线上的四个等分点向上往主视图引垂线垂直于主视图锥底线段AB，垂线交在主视图锥底线段AB上，得交点为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点。过锥底线段上的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点引素线与主视图上锥顶O点相连，得四条素线O-Ⅰ、O-Ⅱ、O-Ⅲ、O-Ⅳ。③在主视图上支管圆管前端线段上做圆管的半圆，并把半圆六等分，等分点为1、2、3、4、5、6、7点。过半圆周线上这七个等分点做垂线垂直于支管圆管前端线段，这七条垂线即是七条切割线。七条垂线分别过主视图中的四条素线，分别把圆管和圆锥管七次切割。④在俯视图圆管前端做圆管的半圆，并把半圆六等分，等分点为4、（3、5）、（2、6）、（1、7）、（2、6）、（3、5）、4点。过半圆周线上这七个等分点做平行线平行于俯视图锥底直径线段AB。七条平行线与圆锥管素线O-Ⅳ相交。⑤主视图圆管等分点的第一条垂线，即第一切割线，过圆锥管中的四条素线，在素线O-Ⅰ上得交点为1′点，在素线O-Ⅱ上得交点为2′点，在素线O-Ⅲ上得交点为3′点，在素线O-Ⅳ上得交点为4′点。过四条素线上的交点（即1′、2′、3′、4′点）做平行线平行于锥底线段AB，与圆锥管边线OB相交，得交点为11′、12′、13′、14′（注：前位数代表切线数，后位数代表素线数，下同）。⑥在俯视图中以O点为圆心，主视图圆锥管边线OB上的各交点（即11′、12′、13′、14′点）至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径分别画弧，其中：以11′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅰ上，得交点为1′点；以12′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅱ上，得交点为2′点；以13′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅲ上，得交点为3′点；以14′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅳ上，得交点为4′点。⑦用曲线圆滑连接俯视图四条素线上的交点（即1′、2′、3′、4′点），即得近似圆的1/4曲线，也就是第一切割线切割圆锥管后，圆锥管的截面近似圆在俯视图中的1/4投影曲线。⑧俯视图中过圆管等分点（1、7）点的平行线过这条圆滑曲线，在圆滑曲线上得交点为1点，那么这个点就是俯视图中圆管和圆锥管相交的共有点，即相贯点。⑨过俯视图中这个1点相贯点向上往主视图引垂线垂直于主视图锥底线段AB，过锥底线段AB，与主视图过圆管等分点1点的垂线上（即第一切割线）相交，在1点的平行线上得交点为1点，那么平行线上的这个1点就是圆管倾斜偏交圆锥管在主视图中的一个相贯点。⑩主视图圆管等分点第二条垂线，即第二切割线，过圆锥管中的四条素线，在素线O-Ⅰ上得交点1点，在素线O-Ⅱ上得交点为2′点，在素线O-Ⅲ上得交点为3′点，在素线O-Ⅳ上得交点为4′点。过四条素线上的交点（即1′、2′、3′、4′点）做平行线平行于锥底线段AB，与圆锥管边线OB相交得交点为21′、22′、23′、24′点。(11)在俯视图中以O点为圆心，主视图圆锥管边线OB上的各交点（即21′、22′、23′、24′点）至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径分别画弧，其中：以21′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅰ上，得交点为1″点；以22′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅱ，得交点为2″点；以23′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅲ上，得交点为3″点；以24′点至素线O-Ⅳ交点间的平行线段长为半径所画弧线交于俯视图素线O-Ⅳ上得交点为4″点。用曲线圆滑连接俯视图四条素线的交点即1″、2″、3″、4″点，即得第2切割线切割圆锥管后，圆锥管截面近似圆在俯视图中的1/4投影曲线。(12)俯视图过圆管等分点中两个（2、6）点的平行线过这条圆滑曲线，在圆滑曲线上得交点分别2′点和2点，那么这个2′点和2点就是圆管和圆锥管相交在俯视图中的两个共交点，即两个相贯点。俯视图中的2′点和2点相贯点向上往主视图引垂线垂直于主视圆锥底线段AB，过锥底线段AB，与主视图过圆管等分点2点的垂线（即第二条切割线）相交，得交点分别为2′点和2点，那么这个2′点和2点即是圆管倾斜偏交圆锥管在主视图中的两个相贯点。(13)以此类推用同样方法做出第三条、第四条、第五条、第六条、第七条切割线切割圆锥管后，圆锥管截面近似圆在俯视图中的1/4投影曲线，用俯视图中圆管等分点中的各条平行线与圆锥管近似圆的1/4投影曲线对应相交即得各条切线上的交点，即相贯点。(14)过俯视图中圆管半圆等分点上的各条平行线上的相交点（即相贯点）向上往主视图引垂线垂直于主视图锥底线段AB，过锥底线段AB，与七条切割线剩下五条对应相交，得交点为3′、3、4′、4、5′、5、6′、6和7点。用曲线圆滑连接主视图上七条切割线上的相贯点（即1、2′、3′、4′、5′、6′、7、6、5、4、3、2点），连接后的图形即主视图上的相贯线。

3）展开：在主视图中按两管相贯线处把两管分离开来，分别进行展开，圆管展开用平行线法，圆锥管展开用放射线法。

圆管的展开：把待展开的圆管视图底端圆管线段两端标注为C点和D点，并照录圆管上端相贯线上的各相贯点。做圆管底端线段CD向右延的延长线，再过上端相贯线上的各相贯点向右引平行线平行于圆管底端线段CD延长线。在线段CD延长线上任取一点为起点，以主视图圆管半圆六等分中的一份弧长依次截取线段CD延长线十二次，在线段CD延长线上得交点为1、2、3、4、5、6、7、6′、5′、4′、3′、2′、1点。过线段CD延长线上的这些交点做上垂线垂直于线段CD延长线，各垂线与圆管相贯点所引过来的各条平行线对应相交，得交点为1、2、3、4、5、6、7、6′、5′、4′、3′、2′、1点。用曲线把这些各自对应的相贯点圆滑连接起来，即得圆管的展开图（见图2-198b）。

圆锥管的展开：需要求做锥顶O点至各相贯点的素线实长和相贯点素线至锥底圆周线上的交点。求做锥顶O点至各相贯点素线实长的步骤：过圆锥管开孔各相贯点做平行线平行于锥底线段AB，平行线交于圆锥管边线OB上，在边线OB上得交点依次为1、2′、2、3′、4′、3、5′、4、5、6′、6、7点。锥顶O点至边线OB上这些交点的长就是所对应的各自相贯点素线的实长。求做相贯点素线至锥底圆周线上的交点的步骤：在俯视图中，从锥顶引素线分别过开孔上的各相贯点，交于锥底圆周线上，在锥底圆周线上得交点依次为4′、5′、3′、6′、2′、7、6、1、5、2、4、3点，那么锥底圆周线上的这些点即是所求相贯点素线交在圆锥管底圆周线上的交点实际位置。以锥顶O点为圆心，O点至锥底B点长为半径画弧，在弧线上任选一点为起点，以俯视图中圆锥底圆三等份中的一份弧长为半径，依次截取弧线十二次。过弧线的起点和终点各做一线段分别与锥顶O点相连。在圆锥底圆周长线的1/2处做一点为A点（即4′点），以这个A点为圆心，俯视图锥底圆周线的素线交点间的弧长（即、、、′、、、、、、、的弧长）为半径分别画弧，各弧线交在锥底圆周线上，得交点为5′、3′、6′、2′、7、6、1、5、2、4、3点，过锥底圆周线上的这些点做线段分别与锥顶O点相连。以锥顶O点为圆心，相贯点素线实长O-1、O-2′、O-2、O-3′、O-4′、O-3、O-5′、O-4、O-5、O-6′、O-6、O-7为半径分别画弧，各弧线与锥底至锥顶相连的各条线段对应相交，得交点为1、2、3、4、5、6、7、6′、5′、4′、3′、2′点。用曲线圆滑连接这些相贯点，即得圆锥管的开孔展开图，整个扇形图即是开孔的圆锥管的展开图（见图2-198b）。