例85  上圆下方倾斜的天圆地方体的展开

1）按已知尺寸做出主、俯两视图，并把主视图上各端点标为A（F）、B（G）、D、E（H）、C，俯视图上各端点标为A′、B′、D′、E′、C′、F′、G′、H′（见图2-167）。

根据线段投影特性可知俯视图中线段A′F′、B′G′和主视图中线段AB表示实长，展开时可直接应用。

2）求做棱线及辅助线的实长（从俯视图中看到线段A′C′、A′E′、B′E′、B′D′、G′D′、G′H′、F′H′、F′C′是上圆下方倾斜的天圆地方体四个平面连接四个曲面的过渡线，即棱线。要想求做上圆下方倾斜的天圆地方体的展开，就得在四个曲面部分做一些适量的辅助线，把每个曲面适当分割成几个小三角形。四个曲面顶端的曲线长就是天圆的圆周长。为了做图方便，我们把天圆周长十二等分，过等分点做辅助线与地方底的四个角点相连，即在每个曲面部分做两条辅助线，把每个曲面部分分割成三个小三角形）：①六等分俯视图中天圆的半圆，等分点为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′点，其中1′点与天圆的C′点重合，4′点与天圆的E′点重合，7′点与天圆的D′点重合。过2′点和3′点做辅助线（用点画线表示，下同）与地方A′点相连，过5′点和6′点做辅助线与地方B′点相连。②过俯视图中天圆圆周线上的2′、3′、5′、6′点向上做主视图天圆线段CD的垂线，垂线交主视图天圆线段CD上的点为2、3、5、6。过2点和3点做辅助线与A点相连，过5点和6点做辅助线与B点相连。③做主视图天圆线段CD向右引的延长线，并过地方A、B两点做线段CD延长线的平行线。在天圆线段CD延长线上选点C₁（E₁）（D₁）。过C₁（E₁）（D₁）点向下做延长线的垂线，与主视图地方A点所引的平行线交于点K₁，与主视图地方B点所引的平行线交于点B。④以K₁点为圆心，俯视图中的棱线A′C′、A′E′为半径分别画弧，与A点平行线分别交于A₁点和A₂点。过A₁点做线段与C₁（E₁）（D₁）相连，过A₂点做线段与C₁（E₁）（D₁）点相连。以垂线上的B点为圆心，俯视图中的棱线B′E′、B′D′为半径分别画弧，与B点平行线分别交于B₁点和B₂点。过B₁点做线段与C₁（E₁）（D₁）相连，过B₂点做线段与C₁（E₁）（D₁）点相连。此时所得的四条线段的长就是上圆下方倾斜的天圆地方体表曲面与平面的过渡线（即棱线）的实长。⑤以K₁点为圆心，俯视图中的2′点和3′点至A′点的辅助线长为半径分别画弧，两条弧线交A点平行线上的点分别为2点和3点。过2点和3点分别做线段与C₁（E₁）（D₁）点相连。以垂线上的B点为圆心，俯视图中的5′点和6′点至B′点的辅助线长为半径分别画弧，两条弧线交B点平行线上的点分别为5点和6点。过51点和61点分别做线段与C₁（E₁）（D₁）点相连。此时所得的四条线段的长就是上圆下方倾斜的天圆地方体曲面部分辅助线的实长。

图2-167 上圆下方倾斜的天圆地方体的展开图

因为此图形是对称的，所以另一半的棱线和辅助线实长就不必再求做。

3）展开步骤：①在适宜位置做地方线段FA，长为俯视图中线段F′A′的长。②分别以线段上的F点和A点为圆心，棱线实长中的A₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点C（即1点）。过C点做线段分别与F、A点相连。③以C点为圆心，俯视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径，向C点两边画弧；再分别以F点和A点为圆心，辅助线实长中的2点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个2点。过两个Z点的点画线分别与F点和A点相连。④分别以两个2点为圆心，俯视图中天圆半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，辅助线实长中的3点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个3点。过两个3点做点画线分别与F点和A点相连。⑤分别以两个3点为圆心，俯视图中天圆的半圆六等分中的一份弧长为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，棱线实长中的A₂点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为H点和E点（即4点）。过H点做线段与F点相连，过E点做线段与A点相连。⑥分别以H点和E点为圆心，棱线实长中的B₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧；再分别以F点和A点为圆心，主视图中地方底线段AB为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为G点和B点。过G点做线段分别与H点和F点相连。过B点做线段分别与E点和A点相连。⑦分别以H点和E点为圆心，俯视图中天圆的半圆六等分的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，辅助线实长中的5点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个5点。过两个5点做点画线分别与G点和B点相连。⑧分别以两个5点为圆心，俯视图中天圆的半圆六等分的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，辅助线实长中的6点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个6点。过两个6点做点画线分别与G点和B点相连。⑨分别以两个6点为圆心，俯视图中天圆的半圆六等分的一份弧长为半径画弧；再分别以G点和B点为圆心，棱线实长中的B₂点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，与前两弧分别相交，得交点为两个D点（即7点）。过两个D点做线段分别与G点和B点相连。⑩以其中一个D点（即右边的D点）为圆心，棱线实长中的B₂点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧；再以B点为圆心，俯视图中地方线段B′G′为半径画弧，两弧交于点G。过G点做线段分别与D点和B点相连。

用曲线把上端各交点（即D、6、5、H、3、2、C、2、3、E、5、6、D点）圆滑连接，那么相连后的图形即为上圆下方倾斜的天圆地方体的展开。