例84  天圆靠一角的天圆地方体的展开

1）按已知尺寸做出主、俯两视图，并把主视图上各端点标为A（F）、B（G）、D、E（H）、C，俯视图上各端点标为A′、B′、D′、E′、C′、F′、G′、H′（见图2-166）。

根据线段投影特性可知俯视图中线段A′B′、B′G′、G′F′、F′A′表示实长，展开时可直接应用。

图2-166 天圆靠一角的天圆地方体的展开图

2）求做棱线及辅助线的实长（从俯视图中看到线段A′C′、A′E′、B′E′、B′D′、G′D′、G′H′、F′H′、F′C′是天圆靠一角的天圆地方体中四个平面连接四个曲面的过渡线（即棱线）。要想求做天圆靠一角的天圆地方体展开，就得在四个曲面部分做一些适量的辅助线，把四个曲面适当分割成十二个小三角形。四个曲面顶端的曲线长就是此天圆的圆周长。为了做图方便，我们把天圆圆周长十二等分，过等分点做辅助线与地方底的四个角点相连，即在每个曲面部分做两条辅助线，把每个曲面部分割成三个小三角形。因为四个曲面对称，所以需求出四条棱线的实长和四条辅助线的实长即可）：①十二等分俯视图中的天圆，等分点为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′、9′、10′、11′、12′点，其中1′点与天圆上的C′点重合，4′点与天圆上的E′点重合，7′点与天圆上的D′点重合，10′点与天圆上的H′点重合。过2′、3′点做辅助线（用点画线表示，下同）与地方A′点相连，过做5′、6′点做辅助线与地方B′点相连，过做8′、9′点做辅助线与地方G′点相连，过11′、12′点做辅助线与地方F′点相连。②过俯视图中天圆周线上的等分点2′、3′、5′、6′、8′、9′、11′、12′向上做主视图天圆线段CD的垂线，与主视图天圆线段CD分别交于点2（12）、3（11）、5（9）、6（8）。过2（12）点和3（11）点分别做辅助线与A点相连，过5（9）点和6（8）点分别做辅助线与B点相连。③做主视图地方线段AB和天圆线段CD线段向右引的延长线。在天圆线段CD延长线上选点C₁（E₁）（D₁）。过C₁（E₁）（D₁）点向下做延长线的垂线，与主视图地方线段AB延长线交于点K₁。④以K₁点为圆心，分别以俯视图中的棱线F′C′、G′D′、A′C′、B′E′为半径分别画弧，与主视图地方线段AB延长线分别交于点F₁、G₁、A₁、B₁。过F₁、G₁、A₁、B₁点分别做线段分别与C₁（E₁）（D₁）点相连，此时所得的线段长就是天圆靠一角的天圆地方体平面与曲面连接的过渡线（即棱线）的实长。⑤以K₁点为圆心，分别以俯视图中的2′点和3′点至A′点的辅助线长、5′点和6′点至B′点的辅助线长、8′点和9′点至G′点的辅助线长、11′点和12′点至F′点的辅助线长为半径画弧，各弧线交主视图地方线段AB延长线上的点分别为5（6）、2（9）、3（8）、11（12）点。过5（6）、2（9）、3（8）、11（12）点分别做线段与C₁（E₁）（D₁）点相连，此时所得的四条线段的长就是此所对应曲面部分的八条辅助线的实长。

3）展开步骤：①在适宜位置做地方线段FA，长为俯视图中线段F′A′的长。②以线段上的F点为圆心，棱线实长中的F₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧；再以A点为圆心，棱线实长中A₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点C（即1点）。过C点做线段分别与F点和A点相连。③以C点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以A点为圆心，辅助线实长中2（9）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点2。过2点做点画线与A点相连。④以2点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以A点为圆心，辅助线实长中3（8）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点3。过3点做点画线与A点相连。⑤以3点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以A点为圆心，棱线实长中G₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点E（即4点）。过E点做线段A点相连。⑥以A点为圆心，俯视图中地方线段A′B′为半径画弧；再以E点为圆心，棱线实长中的B₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点B。过B点做线段分别与A点和E点相连。⑦以E点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以B点为圆心，辅助线实长中5（6）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点5。过5点做点画线与B点相连。⑧以5点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以B点为圆心，辅助线实长中5（6）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点6。过6点做点画线与B点相连。⑨以6点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以B点为圆心，棱线实长中B₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点D（即7点）。过D点做线段与B点相连。⑩以B点为圆心，俯视图中地方线段B′G′为半径画弧；再以D点为圆心，棱线实长中的G₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点G。过G点做线段分别与B点和D点相连。(11)以D点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以G点为圆心，辅助线实长中3（8）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点8。过8点做点画线与G点相连。(12)以8点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以G点为圆心，辅助线实长中2（9）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点9。过9点做点画线与G点相连。(13)以9点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以G点为圆心，主视图上的线段（G）（H）（俯视图中线段G′H′平行于X轴，所以主视图线段（G）（H）表示实长）为半径画弧，两弧交于点H（即10点）。过H点做线段与G点相连。(14)以G点为圆心，俯视图中地方线段G′F′为半径画弧；再以H点为圆心，棱线实长中F₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段分别与G点和H点相连。(15)以H点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以F点为圆心，辅助线实长中11（12）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点11。过11点做点画线与F点相连。(16)以11点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以F点为圆心，辅助线实长中111（121）点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点12。过12点做点画线与F点相连。(17)以12点为圆心，俯视图中天圆十二等分中的一份弧长为半径画弧；再以F点为圆心，棱线实长中F₁点至C₁（E₁）（D₁）点长为半径画弧，两弧交于点C（即1点）。过C点做线段与F点相连。

用曲线把上端各个交点（即C、2、3、E、5、6、D、8、9、H、11、12、C点）圆滑连接，那么相连后的图形即为天圆靠一角的天圆地方体的展开。