1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～5小题，每小题3分，共15分．
（4）在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N（a，0.22）．若以
表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{|
－a|＜0.1}≥0.95，n的最小值应不小于自然数_________．
（Φ（1．96）＝0．975，其中Φ（x）为标准正态分布函数）
（5）设随机变量Xij（i，j＝1，2，…，n；n≥2）独立同分布，EXij＝2，则行列式
的数学期望EY＝___________．
二、选择题：6～10小题，每小题3分，共15分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（6）设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则
（A）当f（x）是奇函数时，F（x）必为偶函数．
（B）当f（x）是偶函数时，F（x）必为奇函数．
（C）当f（x）是周期函数时，F（x）必为周期函数．
（D）当f（x）是单调增函数时，F（x）必为单调增函数．
（8）设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1，α2，…，αm－1，β，则
（A）αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示．
（B）αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示．
（C）αm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示．
（D）αm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示．
（9）设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则
（A）λE－A＝λE－B．（B）A与B有相同的特征值和特征向量.
（C）A与B都相似于一个对角矩阵．（D）对任意常数t，tE－A与tE－B相似．
三、解答题：11～20小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（11）（本题满分6分）
曲线
的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a．试求切线方程和这个图形的面积．当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？
（12）（本题满分7分）
（13）（本题满分6分）
设生产某种产品必须投入两种要素，x1和x2分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为
，其中α，β为正常数，且α＋β＝1．假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
（14）（本题满分6分）
设有微分方程y′－2y＝φ（x），其中
试求在（－∞，＋∞）内的连续函数y＝y（x），使之在（－∞，1）和（1，＋∞）内都满足所给方程，且满足条件y（0）＝0．
（15）（本题满分6分）
（16）（本题满分7分）
设函数f（x）在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
．试证：
（Ⅰ）存在
，使f（η）＝η；
（Ⅱ）对任意实数λ，必存在ξ∈（0，η），使得
（17）（本题满分9分）
设矩阵
，且|A|＝－1．又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α＝（－1，－1，1）T，求a，b，c及λ0的值．
（18）（本题满分7分）
设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B＝λE＋ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
（19）（本题满分9分）
假设二维随机变量（X，Y）在矩形
上服从均匀分布．记
（Ⅰ）求U和V的联合分布；
（Ⅱ）求U和V的相关系数r．
（20）（本题满分7分）设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本，
证明统计量Z服从自由度为2的t分布．