2021年全国硕士研究生招生考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.
1．当x→0时，
是x7的
A．等价无穷小．B．低阶无穷小．
C．高阶无穷小．D．同阶但非等价无穷小．
2．函数
在x＝0处
A．连续且取得极小值．B．连续且取得极大值．
C．可导且导数等于零．D．可导且导数不为零．
3．设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则
的取值范围是
4．设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝
A．dx－dy．B．dx＋dy．
C．dy．D．－dy．
5．二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为
A．1,1．B．2,0．C．2,1．D．1,2．
6．设A＝（α1，α2，α3，α4）为4阶正交矩阵．若矩阵
，k表示任意常数，则线性方程组Bx＝β的通解x＝
A．α1＋α3＋α4＋kα2．B．α2＋α3＋α4＋kα1．C．α1＋α2＋α4＋kα3．D．α1＋α2＋α3＋kα4．
8．设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1．下列命题中为假命题的是
二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.
16．甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和从乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为_______．
三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
20．（本题满分12分）
设n为正整数，y＝yn（x）是微分方程xy′－（n＋1）y＝0满足条件
的解．
（1）求yn（x）；
（2）求级数
的收敛域及和函数．
21．（本题满分12分）
设矩阵
仅有两个不同的特征值．若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．
22．（本题满分12分）
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X，较长一段的长度记为Y．令
．
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求
．