2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．
（6）设总体X服从正态分布N（μ1，σ2），总体Y服从正态分布N（μ2，σ2），X1，X2，…，Xn1和Y1，Y2，…，Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则
＝________.
二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
则
（A）x＝0必是g（x）的第一类间断点．（B）x＝0必是g（x）的第二类间断点．
（C）x＝0必是g（x）的连续点．（D）g（x）在点x＝0处的连续性与a的取值有关．
（9）设f（x）＝|x（1－x）|，则
（A）x＝0是f（x）的极值点，但（0，0）不是曲线y＝f（x）的拐点．
（B）x＝0不是f（x）的极值点，但（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点．
（C）x＝0是f（x）的极值点，且（0，0）是曲线y＝f（x）的拐点．
（D）x＝0不是f（x）的极值点，（0，0）也不是曲线y＝f（x）的拐点．
（10）设有以下命题：
则以上命题中正确的是
(A)①②.(B)②③.(C)③④.(D)①④.
（11）设f′（x）在[a，b]上连续，且f′（a）＞0，f′（b）＜0，则下列结论中错误的是
（A）至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＞f（a）.
（B）至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＞f（b）.
（C）至少存在一点x0∈（a，b），使得f′（x0）＝0.
（D）至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＝0.
（12）设n阶矩阵A与B等价，则必有
（A）当|A|＝a（a≠0）时，|B|＝a.（B）当|A|＝a（a≠0）时，|B|＝－a.
（C）当|A|≠0时，|B|＝0.（D）当|A|＝0时，|B|＝0.
（13）设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax＝b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax＝0的基础解系
（A）不存在．（B）仅含一个非零解向量．
（C）含有两个线性无关的解向量．（D）含有三个线性无关的解向量．
（14）设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α（0＜α＜1），数uα满足P{X＞uα}＝α.若P{|X|＜x}＝α，则x等于
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分8分）
（16）（本题满分8分）
求
其中D是由圆x2＋y2＝4和（x＋1）2＋y2＝1所围成的平面区域，如图所示．
（17）（本题满分8分）
设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足
（18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中价格P∈（0，20），Q为需求量．
（Ⅰ）求需求量对价格的弹性Ed（Ed＞0）；
（Ⅱ）推导
）（其中R为收益），并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加．
（19）（本题满分9分）
设级数
的和函数为S（x）.求：
（Ⅰ）S（x）所满足的一阶微分方程；
（Ⅱ）S（x）的表达式．
（20）（本题满分13分）
设α1＝（1，2，0）T，α2＝（1，a＋2，－3a）T，α3＝（－1，－b－2，a＋2b）T，β＝（1，3，－3）T，试讨论当a，b为何值时，
（Ⅰ）β不能由α1，α2，α3线性表示；
（Ⅱ）β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表达式；
（Ⅲ）β可由α1，α2，α3线性表示，但表达式不唯一，并求出表达式．
（21）（本题满分13分）
设n阶矩阵
（Ⅰ）求A的特征值和特征向量；
（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
（22）（本题满分13分）
求：（Ⅰ）二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）X与Y的相关系数ρXY；
（Ⅲ）Z＝X2＋Y2的概率分布．
（23）（本题满分13分）
设随机变量X的分布函数为
其中参数α＞0，β＞1.设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．
（Ⅰ）当α＝1时，求未知参数β的矩估计量；
（Ⅱ）当α＝1时，求未知参数β的最大似然估计量；
（Ⅲ）当β＝2时，求未知参数α的最大似然估计量．