2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）当x→0时，用“o（x）”表示比x高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是
(A)x·o(x2)＝o(x3)．(B)o(x)·o(x2)＝o(x3)．
(C)o(x2)＋o(x2)＝o(x2)．(D)o(x)＋o(x2)＝o(x2)．
（2）函数
的可去间断点的个数为
(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．
（3）设Dk是圆域D＝{（x，y）|x2＋y2≤1}位于第k象限的部分，记
，则
(A)I1＞0．(B)I2＞0．(C)I3＞0．(D)I4＞0．
（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是
（5）设A，B，C均为n阶矩阵．若AB＝C，且B可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
（6）矩阵
相似的充分必要条件为
(
A）a＝0，b＝2．（B）a＝0，b为任意常数．
（C）a＝2，b＝0．（D）a＝2，b为任意常数．
（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N（0，1），X2～N（0，22），X3～N（5，32），pi＝P{－2≤Xi≤2}（i＝1，2，3），则
(A)p1＞p2＞p3．(B)p2＞p1＞p3．(C)p3＞p1＞p2．(D)p1＞p3＞p2．
（8）设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
则P{X＋Y＝2}＝
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（13）设A＝（aij）是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij＋Aij＝0（i，j＝1，2，3），则|A|＝_________．
（14）设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），则E（Xe2X）＝_________．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
当x→0时，1－cosx·cos2x·cos3x与axn为等价无穷小量，求n与a的值．
（16）（本题满分10分）
设D是由曲线
，直线x＝a（a＞0）及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vx，求a的值．
（17）（本题满分10分）
设平面区域D由直线x＝3y，y＝3x及x＋y＝8围成，计算
．
（18）（本题满分10分）
设生产某商品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为
（p是单价，单位：元；Q是销量，单位：件）．已知产销平衡，求：
（Ⅰ）该商品的边际利润；
（Ⅱ）当p＝50时的边际利润，并解释其经济意义；
（Ⅲ）使得利润最大的定价p．
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）在[0，＋∞）上可导，f（0）＝0，且
．证明：
（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）＝1；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得
．
（20）（本题满分11分）
设
．当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA＝B，并求所有矩阵C．
（21）（本题满分11分）
设二次型f（x1，x2，x3）＝2（a1x1＋a2x2＋a3x3）2＋（b1x1＋b2x2＋b3x3）2，记
（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为
．
（22）（本题满分11分）
（Ⅰ）求（X，Y）的概率密度f（x，y）；
（Ⅱ）求Y的边缘概率密度fY（y）；
（Ⅲ）求P{X＞2Y}．
（23）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中θ为未知参数且大于零．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．
（Ⅰ）求θ的矩估计量；
（Ⅱ）求θ的最大似然估计量．