2018年全国硕士研究生招生考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）下列函数中，在x＝0处不可导的是
（2）设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且
，则
（3）设
，则
(A)M＞N＞K．(B)M＞K＞N．
(C)K＞M＞N．(D)K＞N＞M．
（4）设某产品的成本函数C（Q）可导，其中Q为产量．若产量为Q0时平均成本最小，则
(A)C′(Q0)＝0．(B)C′(Q0)＝C(Q0)．
(C)C′(Q0)＝Q0C(Q0)．(D)Q0C′(Q0)＝C(Q0)．
（5）下列矩阵中，与矩阵
相似的为
（6）设A，B为n阶矩阵，记r（X）为矩阵X的秩，（X Y）表示分块矩阵，则
(A)r(A AB)＝r(A)．(B)r(A BA)＝r(A)．
(C)r(A B)＝max{r(A),r(B)}．(D)r(A B)＝r(AT BT)．
（7）设随机变量X的概率密度f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且
，则P{X＜0}＝
(A)0．2．(B)0．3．(C)0．4．(D)0．5．
（8）设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本．令
，S＝
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（9）曲线y＝x2＋2lnx在其拐点处的切线方程是_______．
（11）差分方程Δ2yx－yx＝5的通解为_______．
（12）设函数f（x）满足f（x＋Δx）－f（x）＝2xf（x）Δx＋o（Δx）（Δx→0），且f（0）＝2，则f（1）＝_______．
（13）设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的向量组．若Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α1＋α3，则|A|＝_______．
（14）随机事件A，B，C相互独立，且
，则P（AC|A∪B）＝_______．三、解答题：15～23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
已知实数a，b满足
，求a，b．
（16）（本题满分10分）
（17）（本题满分10分）
将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值．
（18）（本题满分10分）
已知
，求an．
（19）（本题满分10分）
（20）（本题满分11分）
设实二次型f（x1，x2，x3）＝（x1－x2＋x3）2＋（x2＋x3）2＋（x1＋ax3）2，其中a是参数．
（Ⅰ）求f（x1，x2，x3）＝0的解；
（Ⅱ）求f（x1，x2，x3）的规范形．
（21）（本题满分11分）
已知a是常数，且矩阵
可经初等列变换化为矩阵
．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求满足AP＝B的可逆矩阵P．
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为
，Y服从参数为λ的泊松分布．令Z＝XY．
（Ⅰ）求Cov（X，Z）；
（Ⅱ）求Z的概率分布．
（23）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中σ∈（0，＋∞）为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．记σ的最大似然估计量为
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求E
和D
．