2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）曲线
的渐近线的条数为
(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．
（2）设函数f（x）＝（ex－1）（e2x－2）…（enx－n），其中n为正整数，则f′（0）＝
(A)(－1)n－1(n－1)!．(B)(－1)n(n－1)!．(C)(－1)n－1n!．(D)(－1)nn!．
(A)α1,α2,α3．(B)α1,α2,α4．(C)α1,α3,α4．(D)α2,α3,α4．
（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则P{X2＋Y2≤1}＝
（8）设X1，X2，X3，X4为来自总体N（1，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，则统计量
的分布为
(A)N(0,1)．(B)t(1)．(C)χ2(1)．(D)F(1,1)．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（13）设A为3阶矩阵，|A|＝3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则|BA*|＝_________．
（14）设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，
，则P（AB|C）＝________．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
（16）（本题满分10分）
计算二重积分
，其中D是以曲线
及y轴为边界的无界区域．
（17）（本题满分10分）
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元）．设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和y（件），且这两种产品的边际成本分别为
（万元/件）与6＋y（万元/件）．
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C（x，y）（万元）；
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本；
（Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义．
（18）（本题满分10分）
（19）（本题满分10分）
已知函数f（x）满足方程f″（x）＋f′（x）－2f（x）＝0及f″（x）＋f（x）＝2ex．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求曲线
的拐点．
（20）（本题满分11分）
（Ⅰ）计算行列式|A|；
（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax＝β有无穷多解，并求其通解．
（21）（本题满分11分）
已知
，二次型f（x1，x2，x3）＝xT（ATA）x的秩为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求正交变换x＝Qy将f化为标准形．
（22）（本题满分11分）
设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为
（Ⅰ）求P{X＝2Y}；
（Ⅱ）求Cov（X－Y，Y）．
（23）（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布．记U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}．
（Ⅰ）求V的概率密度fV（v）；
（Ⅱ）求E（U＋V）．
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一、选择题
(1)(C)． (2)(A)． (3)(B)． (4)(D)． (5)(C)． (6)(B)． (7)(D)． (8)(B)．
二、填空题
三、解答题
（Ⅱ）当甲产量为24件，乙产量为26件时，总成本达到最小，为11118万元．
（Ⅲ）边际成本为32万元，其经济意义：当生产甲产品24件，乙产品26件时，生产第25件甲产品需32万元．
（18）证明略． （19）（Ⅰ）f（x）＝ex． （Ⅱ）拐点为（0，0）．
