2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～5小题，每小题3分，共15分．
（4）设随机变量X和Y的联合概率分布为_________________________________________________________则X2和Y2的协方差Cov（X2，Y2）＝___________．
（5）设总体X的概率密度为
而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_________．
二、选择题：6～9小题，每小题3分，共12分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（6）设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，在开区间（a，b）内可导，则
（A）当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a，b），使f（ξ）＝0．
（B）对任何ξ∈（a，b），有．
（C）当f（a）＝f（b）时，存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）＝0．
（D）存在ξ∈（a，b），使f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）．
（7）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组ABx＝0
（A）当n＞m时仅有零解．（B）当n＞m时必有非零解．
（C）当m＞n时仅有零解．（D）当m＞n时必有非零解．
（8）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵
（P－1AP）T属于特征值λ的特征向量是
(A)P－1α.(B)PTα.(C)Pα.(D)(P－1)Tα．
（9）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则
（A）X＋Y服从正态分布．（B）X2＋Y2服从χ2分布．
（C）X2和Y2都服从χ2分布．（D）X2/Y2服从F分布．
三、解答题：10～19小题，共73分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（10）（本题满分5分）
（11）（本题满分7分）
设函数u＝f（x，y，z）有连续偏导数，且z＝z（x，y）由方程xex－yey＝zez所确定，求du．
（12）（本题满分6分）
（13）（本题满分7分）
设D1是由抛物线y＝2x2和直线x＝a，x＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2x2和直线y＝0，x＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．
（Ⅰ）试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；
（Ⅱ）问当a为何值时，V1＋V2取得最大值？试求此最大值．
（14）（本题满分7分）
（15）（本题满分7分）
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使
（16）（本题满分8分）
设齐次线性方程组
其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
（17）（本题满分9分）
设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2＋2A＝O，已知A的秩r（A）＝2．
（Ⅰ）求A的全部特征值；
（Ⅱ）当k为何值时，矩阵A＋kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
（18）（本题满分8分）
假设随机变量U在区间[－2，2]上服从均匀分布，随机变量
试求（Ⅰ）X和Y的联合概率分布；
(Ⅱ)D(X＋Y)．
（19）（本题满分9分）
假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX）为5小时．设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）．