2019年全国硕士研究生招生考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.当x→0时，若x－tanx与xk是同阶无穷小，则k＝
A.1．B.2．C.3．D.4．
2.已知方程x5－5x＋k＝0有3个不同的实根，则k的取值范围是
A.(－∞,－4)．B.(4,＋∞)．
C.{－4,4}．D.(－4,4)．
3.已知微分方程y″＋ay′＋by＝cex的通解为y＝（C1＋C2x）e－x＋ex，则a，b，c依次为
A.1,0,1．B.1,0,2．C.2,1,3．D.2,1,4．
5.设A为4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若线性方程组Ax＝0的基础解系中只有2个向量，则r（A*）＝
A.0．B.1．C.2．D.3．
6.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵．若A2＋A＝2E，且
＝4，则二次型xTAx的规范形为
7.设A，B为随机事件，则P（A）＝P（B）的充分必要条件是
8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N（μ，σ2），则
A.与μ无关，而与σ2有关．B.与μ有关，而与σ2无关．
C.与μ，σ2都有关．D.与μ，σ2都无关．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
12.以pA，pB分别表示A，B两种商品的价格，设商品A的需求函数为
则当pA＝10，pB＝20时，商品A的需求量对自身价格的弹性ηAA（ηAA＞0）为_______．
13.已知矩阵
．若线性方程组Ax＝b有无穷多个解，则a＝_________．
14.设随机变量X的概率密度为
为X的分布函数，EX为X的数学期望，则P {F（X）＞EX－1}＝_________．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分10分）
已知函数
求f′（x）
，并求f（x）的极值．
16.（本题满分10分）
设函数f（u，v）具有2阶连续偏导数，函数g（x，y）＝xy－f（x＋y，x－y），求
．
17.（本题满分10分）
设函数y（x）是微分方程
满足条件y（1）＝e的特解．
（1）求y（x）；
（2）设平面区域D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积．
18.（本题满分10分）
求曲线y＝e－xsinx（x≥0）与x轴之间图形的面积．
19.（本题满分10分）
20.（本题满分11分）
已知向量组
Ⅰ:α1＝(1,1,4)T,α2＝(1,0,4)T,α3＝(1,2,a2＋3)T;
Ⅱ:β1＝(1,1,a＋3)T,β2＝(0,2,1－a)T,β3＝(1,3,a2＋3)T．
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a的取值，并将β3用α1，α2，α3线性表示．
21.（本题满分11分）
已知矩阵
相似．
（1）求x，y；
（2）求可逆矩阵P使得P－1AP＝B．
22.（本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y＝－1}＝p，P{Y＝1}＝1－p（0＜p＜1）．令Z＝XY．
（1）求Z的概率密度；
（2）p为何值，X与Z不相关？
（3）X与Z是否相互独立？
23.（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中μ是已知参数，σ＞0是未知参数，A是常数．X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．
（1）求A；
（2）求σ2的最大似然估计量．