2016年全国硕士研究生招生考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）设函数f（x）在（－∞，＋∞）内连续，其导函数的图形如图所示，则
（A）函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点．
（B）函数f（x）有2个极值点，曲线y＝f（x）有3个拐点．
（C）函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有1个拐点．
（D）函数f（x）有3个极值点，曲线y＝f（x）有2个拐点．
（2）已知函数
，则
(A)f′x－f′y＝0．(B)f′x＋f′y＝0．
(C)f′x－f′y＝f．(D)f′x＋f′y＝f．
（3）设
，其中D1＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，D2＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，D3＝{（x，y）|0≤x≤1，x2≤y≤1}，则
(A)J1＜J2＜J3．(B)J3＜J1＜J2．
(C)J2＜J3＜J1．(D)J2＜J1＜J3．
（4）级数
（k为常数）
（A）绝对收敛．（B）条件收敛．
（C）发散．（D）收敛性与k有关．
（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是
（A）AT与BT相似．（B）A－1与B－1相似．
（C）A＋AT与B＋BT相似．（D）A＋A－1与B＋B－1相似．
（6）设二次型
的正、负惯性指数分别为1，2，则
(A)a＞1．(B)a＜－2．
（C）－2＜a＜1．（D）a＝1或a＝－2．
（7）设A，B为两个随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，如果P（A|B）＝1，则
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X～N（1，2），Y～N（1，4），则D（XY）＝
(A)6．(B)8．
(C)14．(D)15．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
求极限
．
（16）（本题满分10分）
设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数Q＝Q（p），需求弹性
，p为单价（万元）．
（Ⅰ）求需求函数的表达式；
（Ⅱ）求p＝100万元时的边际收益，并说明其经济意义．
（17）（本题满分10分）
设函数
，求f′（x），并求f（x）的最小值．
（18）（本题满分10分）
设函数f（x）连续，且满足
，求f（x）．
（19）（本题满分10分）
求幂级数
的收敛域及和函数．
（20）（本题满分11分）
设矩阵
，且方程组Ax＝β无解．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求方程组ATAx＝ATβ的通解．
（21）（本题满分11分）
已知矩阵
．
（Ⅰ）求A99；
（Ⅱ）设3阶矩阵B＝（α1，α2，α3）满足B2＝BA．记B100＝（β1，β2，β3），将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）在区域D＝{（x，y）|0＜x＜1，x2＜y＜x}上服从均匀分布，令
（Ⅰ）写出（X，Y）的概率密度；
（Ⅱ）问U与X是否相互独立？并说明理由；
（Ⅲ）求Z＝U＋X的分布函数F（z）．
（23）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其中θ∈（0，＋∞）为未知参数．X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T＝max{X1，X2，X3}．
（Ⅰ）求T的概率密度；
（Ⅱ）确定a，使得E（aT）＝θ．