2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．
（1）设
其导函数在x＝0处连续，则λ的取值范围是_______．
（2）已知曲线y＝x3－3a2x＋b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2＝．
（4）设n维向量α＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵
，其中A的逆矩阵为B，则a＝_________．
（5）设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．
（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn＝
依概率收敛于_______．
二、选择题：7～12小题，每小题4分，共24分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（7）设f（x）为不恒为零的奇函数，且f′（0）存在，则函数
（A）在x＝0处左极限不存在．（B）有跳跃间断点x＝0．
（C）在x＝0处右极限不存在．（D）有可去间断点x＝0．
（8）设可微函数f（x，y）在点（x0，y0）取得极小值，则下列结论正确的是
（A）f（x0，y）在y＝y0处的导数等于零．（B）f（x0，y）在y＝y0处的导数大于零．
（C）f（x0，y）在y＝y0处的导数小于零．（D）f（x0，y）在y＝y0处的导数不存在．
（A）a＝b或a＋2b＝0．（B）a＝b或a＋2b≠0．
（C）a≠b且a＋2b＝0．（D）a≠b且a＋2b≠0．
（11）设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是
（A）若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks都有k1α1＋k2α2＋…＋ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．
（B）若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks有k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0．
（C）α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．
（D）α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．
（12）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件
（A）A1，A2，A3相互独立．（B）A2，A3，A4相互独立．
（C）A1，A2，A3两两独立．（D）A2，A3，A4两两独立．
三、解答题：13～22小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本题满分9分）
设F（x）＝f（x）g（x），其中f（x），g（x）在（－∞，＋∞）内满足以下条件：
（Ⅰ）求F（x）所满足的一阶微分方程；
（Ⅱ）求出F（x）的表达式．
（18）（本题满分8分）
设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f（0）＋f（1）＋f（2）＝3，f（3）＝1，试证必存在ξ∈（0，3），使f′（ξ）＝0．
（19）（本题满分13分）
已知齐次线性方程组
其中
，讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，
（Ⅰ）方程组仅有零解；
（Ⅱ）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
（20）（本题满分13分）
设二次型
），其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
（Ⅰ）求a，b之值；
（Ⅱ）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
（21）（本题满分13分）
设随机变量X的概率密度为
F（x）是X的分布函数．求随机变量Y＝F（X）的分布函数．
（22）（本题满分13分）
设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
，而Y的概率密度为f（y），求随机变量U＝X＋Y的概率密度g（u）．