2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．
（1）极限
＝_________.
（2）微分方程xy′＋y＝0满足初始条件y（1）＝2的特解为_______.
（3）设二元函数z＝xex＋y＋（x＋1）ln（1＋y），则
＝_________.
（4）设行向量组（2，1，1，1），（2，1，a，a），（3，2，1，a），（4，3，2，1）线性相关，且a≠1，则a＝_________.
（5）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y＝2}＝________.
（6）设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_________，b＝_________.
二、选择题：7～13小题，每小题4分，共28分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（7）当a取下列哪个值时，函数f（x）＝2x3－9x2＋12x－a恰有两个不同的零点？
(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.
（10）设f（x）＝xsinx＋cosx，下列命题中正确的是
（11）以下四个命题中，正确的是
（A）若f′（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界．
（B）若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界．
（C）若f′（x）在（0，1）内有界，则f（x）在（0，1）内有界．
（D）若f（x）在（0，1）内有界，则f′（x）在（0，1）内有界．
（12）设矩阵A＝（aij）3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为
（13）设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1＋α2）线性无关的充分必要条件是
(A)λ1＝0.(B)λ2＝0.(C)λ1≠0.(D)λ2≠0.
三、解答题：14～22小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（14）（本题满分8分）
（15）（本题满分8分）
设f（u）具有二阶连续导数，且
.
（16）（本题满分9分）
计算二重积分
，其中D＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}.
（17）（本题满分9分）
求幂级数
在区间（－1，1）内的和函数S（x）.
（18）（本题满分10分）
设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）＝0，f′（x）≥0，g′（x）≥0.证明：对任何a∈[0，1]，有
（19）（本题满分14分）
已知齐次线性方程组
同解，求a，b，c的值．
（20）（本题满分14分）
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B－CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
（21）（本题满分13分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度
，求：
（Ⅰ）（X，Y）的边缘概率密度fX（x），fY（y）；
（Ⅱ）Z＝2X－Y的概率密度fZ（z）；
(Ⅲ
.
（22）（本题满分13分）
设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，其样本均值为
（Ⅰ）求Yi的方差DYi，i＝1，2，…，n；
（Ⅱ）求Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）；
（Ⅲ）若c（Y1＋Yn）2是σ2的无偏估计量，求常数c.（相当于E[c（Y1＋Yn）2]＝σ2，求c）