2017年全国硕士研究生招生考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（2）二元函数z＝xy（3－x－y）的极值点是
(A)(0,0)．(B)(0,3)．(C)(3,0)．(D)(1,1)．
（3）设函数f（x）可导，且f（x）f′（x）＞0，则
(A)f(1)＞f(－1)．(B)f(1)＜f(－1)．
(C)|f(1)|＞|f(－1)|．(D)|f(1)|＜|f(－1)|．
（4）若级数
收敛，则k＝
(A)1．(B)2．(C)－1．(D)－2．
（5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
（A）E－ααT不可逆．（B）E＋ααT不可逆．
（C）E＋2ααT不可逆．（D）E－2ααT不可逆．
（6）已知矩阵
，则
（A）A与C相似，B与C相似．（B）A与C相似，B与C不相似．
（C）A与C不相似，B与C相似．（D）A与C不相似，B与C不相似．
（7）设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是
（A）A与B相互独立．（B）A与B互不相容．
（C）AB与C相互独立．（D）AB与C互不相容．
（8）设X1，X2，…，Xn（n≥2）为来自总体N（μ，1）的简单随机样本，记
，则下列结论中不正确的是
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
(9)
＝_________．
（10）差分方程yt＋1－2yt＝2t的通解为yt＝_________．
（11）设生产某产品的平均成本
（Q）＝1＋e－Q，其中Q为产量，则边际成本为_______．
（12）设函数f（x，y）具有一阶连续偏导数，且df（x，y）＝yeydx＋x（1＋y）eydy，f（0，0）＝0，则f（x，y）＝_________．
（13）设矩阵
为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_______．
（14）设随机变量X的概率分布为
．若EX＝0，则DX＝_________．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
（16）（本题满分10分）
（17）（本题满分10分）
（18）（本题满分10分）
已知方程
在区间（0，1）内有实根，试确定常数k的取值范围．
（19）（本题满分10分）
（Ⅱ）证明（1－x）S′（x）－xS（x）＝0（x∈（－1，1）），并求S（x）的表达式．
（20）（本题满分11分）
设3阶矩阵A＝（α1，α2，α3）有3个不同的特征值，且α3＝α1＋2α2．
（Ⅰ）证明r（A）＝2；
（Ⅱ）若β＝α1＋α2＋α3，求方程组Ax＝β的通解．
（21）（本题满分11分）
设二次型
在正交变换x＝Qy下的标准形为
，求a的值及一个正交矩阵Q．
（22）（本题满分11分）
（Ⅰ）求P{Y≤EY}；
（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度．
（23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的．设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N（μ，σ2），该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi＝|Xi－μ|（i＝1，2，…，n）．利用Z1，Z2，…，Zn估计σ．
（Ⅰ）求Z1的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；
（Ⅲ）求σ的最大似然估计量．