3.4　本章小结

在本章，基于对称和守恒律，系统地研究了一些（1+1）-维非线性偏微分方程，包括三阶Burgers 方程、四阶Burgers 方程、五阶KdV 方程。对于三阶Burgers 方程，我们研究了非局域对称、相似约化和显式解，从对称的角度，将方程线性化为一个线性的三阶偏微分方程，对于势方程，给出了一些新的显式解，此外对于三阶Burgers 方程、势方程以及约化的方程，给出了一些守恒律。类似地，对于四阶Burgers 方程，我们也研究了相应的非局域对称、线性化、非线性自治性以及守恒律。众所周知，阶数越高，相对来说，计算量会加大，对于求解相应的对称、精确解及守恒律难度会增加。基于对称和守恒律，在三阶Burgers 方程的基础之上，研究了四阶Burgers 方程。从Painlev¡ä e的角度以及对称的角度，我们得到了Cole-Hopf 变换，之后，基于Cole-Hopf 变换，将方程化成了一个四阶线性偏微分方程，这样一来，问题就转化成求解四阶线性偏微分方程。求解非线性偏微分方程的目的就是，将非线性问题化成线性问题，线性问题化成代数问题来求解。这样基于Cole-Hopf 变换得到了原方程大量的新解。此外，详细地研究了势方程，找到了势方程非线性自治的条件，基于伴随方法，给出了方程的一些非平凡守恒向量。到现在为止，仅仅研究了三阶和四阶问题，那么对于更高维的情况，以及一般的情况，包括它们变系数的情况，有待于进一步研究。对于五阶KdV 方程，依然是从对称和守恒律的角度，给出了该方程的对称、孤立子解和守恒律，并利用孤立子解给出了守恒量。

这些（1+1）-维非线性偏微分方程是一类代表性的非线性偏微分方程，在本章仅仅研究了常系数的情况，对于变系数的情况也是值得研究，包括它们的离散情况、分数阶情况以及积分情况等，都是将来研究的内容。

本章的研究成果以及相关内容已经发表在Nonlinear Dynamics、Chaos Soliton and Fractal、Acta Phys。Pol。A、Journal of the Korean Physical Society、Romanian Journal of Physics、Optik-International Journal for Light and Electron Optics 等期刊。