4.1.1　引言

在上一章，系统地研究了一些（1+1）-维的非线性偏微分方程，特别是考虑了这些方程的非局域对称以及守恒律及显式解，通过对称，将一些非线性偏微分方程线性化，利用非线性偏微分方程和线性偏微分方程之间的关系，构建了一些新的精确解，通过非局域对称，导出了非线性偏微分方程的一些非平凡守恒律。那么问题是，对于（2+1）-维情况，是不是还有类似的情况？我们知道，对于（2+1）-维情况，多了一个自变量，从表面上看，感觉和（1+1）-维情形没有本质区别，实则不然，因为多了一个变量，在处理上要有很多问题需要考虑，最简单的例子就是KdV 方程和KP 方程，典型的是（1+1）-维和（2+1）-维情况对比，很显然，除了计算上的复杂之外，还有许多问题需要考虑。比如Lax 对、对称和守恒律等一系列问题。本章在对称的基础上，考虑（2+1）-维非线性偏微分方程的守恒律等问题。

首先考虑一个拓展的（2+1）-维 Zakharov-Kuznetsov-Burgers（ZKB）方程，

其中a，b，c，d 和e是常数，而x，y 和t是自变量，表示空间和时间变量，这里u（x，y，t）代表因变量。关于该方程更多的讨论请参见文献[101，102]。

Zakharov 和Kuznetsov[103]首先给出了这个模型，这个模型和磁化等离子体中的非线性等离子声波有关。关于这方面以及相关方面的研究内容十分丰富。为了给该方程提供更丰富的信息，我们从对称和守恒律的角度去研究该方程。首先给出一些新的显式解，并且给出非线性自治性的条件，最后基于李点对称，给出了守恒律。