7.1　引言

微分方程在许多领域扮演着不可替代的作用，同时，对称群的李理论提供了一个系统的、一般的、有效的方法去处理微分方程。对称群的李理论主要用来构建微分方程的对称约化、群不变解和守恒律。一再强调，对于偏微分方程而言，对称可以减少偏微分方程的自变量的个数；而对于常微分方程而言，可以降低常微分方程的阶数。更多的细节，请参见文献[44-50]。

另一方面，许多学者发现从非线性问题建立起来的数学模型中所得到的非线性微分方程的阶数不一定都是整数阶，如果微分方程的阶数取为分数阶，这些数学模型能够更好地描述和反映实际的自然现象，更精确地去反映研究模型的某些性质，而且分数阶导数为描述不同物质和过程的记忆性和遗传性质提供了特别好的手段，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因此成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。不像整数阶非线性偏微分方程，分数阶非线性偏微分方程的研究相对而言要少得多。研究分数阶非线性偏微分方程的对称是十分有趣的 [124-133]。

在本章，将研究下面的分数阶偏微分方程

这里u（x，t）是x，t 的函数，而a，b，ε和m是常数。方程（7.1）的一些特殊情况描述了许多物理现象。例如α=1，a=0，可以得到广义的KdV 方程。对于m=2，a=0，b=1，方程（7.1）约化成经典的KdV 方程，而当m=3，a=0，b=1，方程（7.1）约化成经典的mKdV方程。更多的物理描述请参见文献[134-137]以及引用的相关的文献.