3.1.3　势系统和势方程的李点对称

3.1.3　势系统和势方程的李点对称

为了得到更多的非局域对称，利用势系统去分析（3.6）。首先，可以写成下面的势系统的形式

而且可以得到势方程

李点对称由下面的式子给出

这里∊是群参数，并且

其中（u，v） 满足（3.15），李点对称的无穷小生成元为

三阶延拓公式为

并且

这里，Dx 和Dt 是全导数算子。

定理 3.1.1 势系统（3.15）有下面的李点对称

并且

这里 F=F（x，t），并且 F 满足 Ft−Fxxx=0。因此，STO 方程拥有相应的势对称。

证明：利用李点对称，可以得到下面的超定方程组

解这些方程，可以得到（3.22）和（3.23）。

定理 3.1.2 势方程（3.16）拥有下面的李点对称

和

这里F=F（x，t），且F 满足同样的方程Ft−Fxxx=0。

证明：类似于上面的步骤，可以得到

解这些方程，可以得到（3.24）和（3.25）。

注记：

1.在上面的向量场中，向量场 XF 是势对称（非局域对称），它们从经典李点对称是得不到的。

2.如果存在守恒律的形式，利用守恒律去构建非局域对称不是唯一的方法。此外，并不是所有的守恒形式，或者说势系统都能导出非局域对称。