八、收益率的计算
对于不同的投资如何比较其收益？例如，投资50万元1年后净收益为5万元，以及投资5万元6个月后净收益为2千元的两个项目，哪个项目的收益高？为了解决这些问题，有必要了解单期和多期收益率的计算方法。
（1）单期收益率与多期收益率
①单期收益率
单期收益率一般是指投资期间没有现金流的变化，期初0时刻投资某一资产，持有到期末T，得到持有期的收益率为：
根据投资期长短可以有日收益率、周收益率和月收益率。
②多期收益率
多期收益率是由多个短的时间期限组成，例如，5年期的投资包括5个1年，1年可以包括4个季度的期限，每个季度包括3个月期限。
③ 单期收益率与多期收益率关系
假设从1期到k期共有k个时期，假设多期收益率表示为rk，t-1到t期的收益率为单期收益率，记为rt−1,t。则多期收益率可以通过式（1-13）计算。
对式（1-13）的右边泰勒展开，我们可以得到：
因此对于多期收益率的计算，可以利用上式进行简化。我们看一个例子。
例1.7 已知年收益率为6％，如何计算月收益率呢？
解：我们可以利用（1-13）进行求解。
1+6％=（1+r）12
r≈0.49％
如果利用简化的方法来计算，得到月收益率为0.5％，与0.49％非常接近。所以在实际计算中，经常采用简化的计算方法。
（2）实际收益率的计算
例1.8 年初在账户存入40 000元，已知年利率为8％，问年末账户应有多少钱？请根据计息方式为半年计息、按月计息分别计算实际收益率。
解：半年计息：40 000×（1+8％/2）2=43 264元(https://www.daowen.com)
月计息：40 000×（1+8％/12）12=43 319.98元
显然计息频率越高，实际收益率也越高。如果计息频率趋于无穷，那么就是连续复利。
（3）连续复利
年利率为r，一年计m次计息，按复利计息一年的收益为：
当m→∞时，得到1年期连续复利（Continuous Compounding）：
在连续复利情况下，数额A以利率R投资N年后，得到AeRN，对于一笔数额A以连续复利R贴现的结果则为Ae−RN。
（4）连续复利与复利之间的关系
假设Rc为连续复利，Rm为复利。我们有：
已知复利求连续复利：
已知连续复利求复利：
例1.9 考虑一个年息为10％的利率，半年计息一次，则与之等价的连续复利为多少？
解：因为
=（1+10％/2）2，所以Rc=2ln（1+5％）=0.097 58。
例1.10 假设债权人给出贷款利息为年率8％，这是按连续复利计算，而实际上利息是一个季度支付一次，若贷款总额为5 000美元，那么每季度该支付多少利息？
解：因为Rm=4×（e0.08/4−1）=−0.080 8，因此可以求出每季度支付利息为5 000×8.08％=101美元。