Local Volatility模型和场外奇异期权的定价：重新回到Monte Carlo
正如我们之前介绍的，大部分精细的波动率模型在对于场内欧式期权的定价而言，表现都显著好于Black-Scholes-Merton的常数波动率定价模型。但是对于场外奇异结构，尤其是路径依赖的结构来说，这些精细的波动率模型的表现差别会比较大。
因此，在对场外期权的定价中，模型和数值方法的选择就变得格外重要，不同的数值方法所产生的定价差距非常大，选择不合适的模型会产生巨大的模型风险。
那么一个可能的问题是，有没有什么办法可以降低这个风险？或者说，有没有什么办法能够抹平不同波动率模型之间对于场外奇异结构定价的差异？
在本节中，我们介绍了隐含波动率曲面实际上是由多个布朗桥对应的资产价格路径上瞬时波动率的平均值相连而得。因此，Derman提出了一种解决方案，Local Volatility模型。既然隐含波动率曲面本质上的每一个点都是一条路径的平均波动率，隐含波动率曲面又是连续的，那么我们就可以通过类似于差分的方法，从隐含波动率曲面去得到路径上的瞬时波动率，即对每一个到期时刻t＜T和资产价格St，我们均可以求得资产在这个价格和这个时点处，隐含波动率曲面所对应的资产的瞬时波动率是多少。而这个对应关系在图像上，会呈现为从行权价格—时间—隐含波动率的三维图像，变化为资产价格—时间—资产瞬时波动率的三维图像。
对于相同标的资产的任何结构，其依赖的资产价格过程应当是完全相同的，这在逻辑上而言非常直观，因为标的资产的价格路径，在到期时是唯一的。Derman在介绍这个问题的时候，举的例子是债券定价的例子，我们亦在此进行阐述。
债券定价使用的主流方法是现金流贴现。那是否存在一个统一的，对于相同评级的债券都适用的贴现率？答案是肯定的，这个利率是零息曲线收益率，或称为利率期限结构。那么，某一只债券的到期收益率是否能够被用于其他类似评级的债券收益率？当然不行，这些债券的息票率都不一样，每一次付息在现值中的比重也不一样，自然不能简单等价，或者说，某一只债券的到期收益率不是一个具有一致性的定价基准。但是，确实可以通过多个债券的到期收益率计算零息曲线，而零息曲线是具有一致性的，即任何一个相同评级的债券，每一笔还本付息，都需要使用零息曲线去进行贴现。
同理，由场内欧式期权计算得到的隐含波动率曲面，不应当被直接使用于场外非欧式期权的定价，而应当使用局部波动率模型，将隐含波动率曲面转化为瞬时波动率曲面，或者说局部波动率曲面。局部波动率曲面是一个对于资产价格过程的解释，而资产价格过程，对于所有的结构来说，自然是具有一致性的，因此，可以通过使用局部波动率模型，即可以将隐含波动率曲面处理，并用于场外非欧式期权的定价了。
更好的是，每一个局部波动率曲面均等价于一个随机波动率模型，即能够找到一个随机过程来描述这个局部波动率曲面。因此，至少在理论上，这个做法是完备的，并且其存在相较于拟合随机波动率模型而言效率极高的数值解法，因此在实际中，这也是对于场外非欧式期权定价的主流方法。
可能需要再次重申的观点在于，在绝大部分情况下，精美完备的模型、公式和解析解，在理论上意义是显著的，但是从业务执行的角度上来讲，效率更高的数值解或者近似解的价值可能更高，毕竟资产价格是有最小单位的，任何小于这个最小单位的定价精度都没有太多实际意义。一个需要一个小时才能得到的100分的答案，和一个一秒钟就能得到的80分，甚至90分的答案，单纯从业务层面上来看的话，后者的吸引力可能会更大。这也是实际和理论显著的不同点之一。
接下来，我们介绍具体从隐含波动率曲面得到局部波动率曲面的数值做法，假设：
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其中，σBS（K,T,S0）为隐含波动率曲面，υL为局部波动率曲面，Ft为资产的远期价格，其他参数的定义应当不会陌生，则有：
根据上式，可以从隐含波动率曲面中，通过差分和基本的数学运算，计算出局部波动率曲面的数值解。
在了解了局部波动率模型之后，我们可以重新回到Monte Carlo方法，提供一种应用局部波动率模型修正资产价格路径，并对非欧式的场外奇异结构的定价方法：
第一步，我们通过场内期权的价格，按照本章第一节的方法计算隐含波动率曲面。
第二步，使用一个隐含波动率模型，拟合模型参数，构建一条光滑的曲面函数，并通过曲面函数构建一个离散化的隐含波动率矩阵，其中行列名分别为到期期限和行权价格（或价外程度），填充数据则为对应行列计算得到的期权隐含波动率。
第三步，使用局部波动率，从隐含波动率矩阵中，计算局部波动率矩阵。
第四步，按照我们在第九章第二节中介绍的Monte Carlo模拟方法，模拟价格路径，只是在这里我们不能简单地使用常数波动率，而是在每一个时点处，根据当时模拟路径中的当前资产价格，在局部波动率矩阵中查找相同到期期限和资产价格处的波动率，作为下一个步长中使用的波动率。
第五步，根据最终生成的所有价格路径，计算这个场外结构的定价。
那么为什么在第九章第二节中，我们依然在使用Monte Carlo对场外期权进行定价呢？因为当时我们是常数波动率假设，隐含波动率曲面是水平的，局部波动率也是水平的，无论怎么取都是常数，因此在这个环节我们可以在没有任何理论缺陷的情况下使用Monte Carlo进行定价。当隐含波动率曲面不是水平的时候，使用本节中介绍的局部波动率模型方法就是必要的。