欧式期权的BSM模型推导和BSM PDE
在做了以上的数学推导以后，我们现在可以尝试对一个欧式股票看涨期权进行定价。
首先，我们假设股票价格服从式（9-13）的假设得出式（9-17）：
并且市场上存在一个可自由借贷的无风险收益率债券Rt，满足式（9-18）：
这使得Rt=ertR0，其中R0为起始价格。假设我们现在站在起始的0时点，记未来某一个时点T为到期日，在此时，我们有权利选择是否以一个之前商定好的价格K去购买一单位该股票。则在时点T，该股票看涨期权的价值C为：
我们的目标是找到对于任意时点t＜T，该期权的价格f（t,x），假设 x=St。
一个最简单的方式，我们已经在式（9-16）中知道了St的概率分布，也知道了在每一个可能值处，我们到期能够得到多少钱。衍生品的价格是在风险中性测度下进行定价，即所有资产的收益率均为无风险收益率，关于这一点，我们会在下文中予以阐述。目前，我们可以先直接使用这个结论，计算这项资产到期的期望现金收益，然后往之前任何一个时点按照无风险利率贴现，这也是期权定价的一个基本逻辑。这个计算方式，我们在本节第四部分中予以阐述。
另外一个做法是Black-Scholes-Merton的解决方案，其让Myron Scholes和Robert Merton在1997年获得诺贝尔经济学奖。我们在本章中会阐述这个解决方案。
期权价格在风险中性测度下，在到期日T之前的某一个时点t将会满足式（9-20）：
根据定理9.3伊藤引理，我们可以看到，f（t,x）将会满足PDE（9-21）：
注：这里和本章内的所有公式中，导数符号均为对x求的偏导。
在式（9-21）中，假设某投资者作为期权卖方按照这个价格卖出期权，然后用所得的资金按照当前无风险利率去买债券，到期如果需要交割的话他再去市场上卖出这些债券转而买股票履行交割义务。假设股票价格涨到很高的话，他是有大于0的概率无法用卖期权的钱去买到所需的股票的，也就是说他亏损的概率将会严格大于0。
而Myron Scholes和Robert Merton作为诺贝尔奖得主，他们的做法则比这个投资者更加聪明。他们的方法是构建一个资产组合来对冲这个期权，使得到期的时候这个组合可以保证有C的价值来满足期权的偿付要求。这里，资产组合的定义是一个持仓数量（at,bt），其中at是持有的股票数量，而bt是持有的无风险债券数量。这隐含了期权定价的第二个基本逻辑，即期权的价格，等于使用标的资产完全复制这个期权的成本。假设Vt为t时刻的资产组合价值，则我们很容易可以得到式（9-22）：
我们将会不断地调整（at,bt）的数量，在股票和债券中来回切换，使得到期的时候，无论股票价格如何变化，我们始终有式（9-23）：
同时我们假设这个组合的资金为自筹（Self-financing），也就是说这个资产组合完全不依赖于外部资金，而是完全依靠一开始卖出期权的资金自给自足。从数学上来看，这个组合的价值在任何一个瞬间的增量就会满足式（9-24）：
式（9-24）非常重要，因为这是我们在继续下一步数学处理的前提假设。如果我们假设有式（9-24）的话，结合式（9-17）和式（9-18），我们可以有式（9-25）：(https://www.daowen.com)
由于期权到期日的收益函数仅在一个点处不可导，我们依然可以使用伊藤引理得到式（9-26）：
毫无疑问的式（9-25）和式（9-26）的等式右半边完全相等，简单的移项之后，我们就可以得到：
同时，也是期权定价领域里面最重要的一个公式——式（9-28），Black-Scholes- Merton PDE：
其中，依然有x=St。
关于这个偏微分方程（Partial differential equation，PDE），有两点值得我们关注：
第一点，资产价格的收益率μ在最终的PDE中并未出现。听起来似乎非常反直觉，但是如果我们这么考虑的话，就变得可以理解了。在这个过程中，我们全程都是完全对冲的，即我们没有承担任何的系统性风险，只要按照我们这个方法操作，到期的时候我们总可以得到偿付这个期权义务的资产。对于风险而言，根据资本资产定价模型，只有承担了系统性风险，才能够得到风险补偿，而在我们这个过程中，我们从头到尾没有承担任何的系统性风险， 0β=，因此我们所有能够得到的期望收益率，仅为无风险收益率r。也正是因为如此，在这个公式中，r参与了运算，而μ没有。这也是为什么衍生品必须在风险中性测度下进行定价，使用衍生品，我们可以进行完全对冲而不承担系统性风险，在这个测度下，所有资产的收益率，能且只能为无风险收益率。
第二点，式（9-28）和式（9-21）几乎完全一样，仅将μ更换为了r，其原因在第一点里已经予以阐述。因此，如下的公式成立：
其中，S的过程满足：
①这里公式实际上是不规范的。dWt在这里是在风险中性测度之下的，而在本文其余部分中是在实际测度之下的。从实际测度更换到风险中性测度，不会改变维纳过程，但是会改变整个随机过程的漂移率。简而言之，从实际测度更换到风险中性测度时，所有资产的标准差和相关系数不变，而收益率会变成无风险收益率。有兴趣的读者可以了解Girsanov定理，在本文中不做阐述，仅要求知道风险中性测度的定性含义。
根据式（9-27），我们对这个公式求解f（t,x），就可以得到Black-Scholes-Merton公式（9-31）：
其中，Φ是标准正态分布的累计分布函数。
有兴趣的读者可以自行将式（9-31）代入式（9-27），如果使用者知道r和σ，就可以直接带入这个公式，并且求得唯一的精确的解析解。然而，知道r和σ是一个非常强的前提假设，在金融市场中，没有人能够知道任何一个金融变量在未来的值。这使得BSM模型在实际操作中无法直接使用，对于这一点，如何在实操中予以补充，我们会在第九章第二节中予以介绍，在此之前，我们可以暂时毫无问题的假设我们知道r和σ。那么这个极其有用的公式，就可以让我们对于任何一个欧式看涨期权进行定价。并且特殊的，在0时刻，我们有：
在这里：
其中，S0为0时点处（往往也是需要计算期权价值的时间点）的股票价格，其余参数均在本章前面部分予以定义。这个表述方法也是BSM公式最为普遍的表述方法。