3.3.1　医疗保险损失的重尾分布

3.3.1　医疗 保险损失的重尾分布

1.重尾分布的定义

非负随机变量X的分布F(x)称为是重尾的（Heavy-tailed），如果m(s)=E[esX]=∞，X对所有s＞0成立 (参见如Rolski et al.(1999)). 用=1-F(x)表示分布函数为F(x)的尾函数（或者称为生存函数），利用关系，还可以证明F(x)是重尾的等价于对所有的s＞0，

因此，直观地说，所谓重尾分布是指尾部比指数分布具有更低阶无穷小的分布，这样的分布包括拟合医疗费用损失分布时常用的Pareto、Log-normal、Burr分布以及形状参数小于1的Weibull分布等。两种常见重尾分布如下：

（1）规则变化分布（Regularly Varying Distribution，也叫Pareto型分布，记为，其中，l(x)，x∈(0,∞)称为缓慢变化函数（满足，参见如(Markovich(2007)），α=1/γ,γ＞0称为尾部指标。Pareto型分布包含了理论上极为重要的极值分布：

Pareto型分布的矩的存在性于尾部指标α的关系为：如果β＜α，E[Xβ]=∞如果β≥α(Markovich(2007))。

（2）下指数分布（Subexponential Distribution），即，记为F∈S，这里F*2表示F的两重卷积：独立同分布于F。关于下指数分布的一个等价条件是：F∈S当且仅当

这说明，如果X1,X2,…,Xn 独立同分布于F，F∈S，那么当x→∞时，

这里，～表示渐进等价，而。公式（3.10）说明对于充分大的x，是否大于x取决于X(n)是否大于x。

Pareto型分布属于下指数分布：。当其尾部指标1＜α＜2时，X的一阶矩存在，二阶矩不存在。这类分布给我们在医疗保险的定价和风险度量以及保费充足性评估等问题都带来了一定的难度。

2.重尾分布的探测

在实际应用中，医疗保险经营人总是通过历史数据做出精算假设，那么第一步就是通过历史数据判断医疗损失的重尾性。

（1）Q-Q图。因为重尾分布是和指数分布的尾部进行比较而言的（见3.8式）。因此可以用指数Q-Q图来直观地观察。指数Q-Q图是由构成的散点图，并用这些点拟合一条回归直线（称为参考线）。显然，，k=1,2,…,n 是参数为1的指数分布的(https://www.daowen.com)

分位数点。X(k)，k=1,2,…,n 为样本的分位数点。如果样本是来自于指数分布，那么这些点在回归直线的附近；如果样本来自于重尾分布，那么散点增长的速度就会快于回归直线（参考线）；相反，如果样本来自于较指数尾部更轻的分布，那么散点增长的速度就会慢于回归直线。同样地，我们也可以用Q-Q图来探测分布是方差是否有限，这是因为，方差不存在等价于说 不收敛，因此如果F(x) 不轻于，分布的方差就不存在。作,n的散点图，如果该图的尾部高于45度线，则我们有理由认为该分布可能方差不存在。

（2）经验尾部剩余均值（Empirical Mean Residual Tail,见Rolski et al.(1999)）。X的尾部剩余均值为。如果尾部剩余均值是常数，则X为指数分布；如果尾部剩余均值随x的增加而增长，则X是重尾的；如果尾部剩余均值随x的增加而较少，则X是轻尾的。μF(x)的一个显然的经验版本为

如果经验期望剩余函数随(n-k)的增加而增加的话，则样本是来自于重尾分布的。

（3）尾部指标的估计。α=1/γ为尾部指标。如果γ＞0，则X就是重尾的。在实际应用中，知道α非常重要，比如α＜2，则，分布方差不存在，于是许多在方差有限假定下得到的统计学或者经济学的理论都不能适用。因此，尾部指标的估计，能获悉更多的尾部厚度的信息。经典的尾部指标的估计是Hill估计［Hill（1975）］：

其中X(1)≤X(2)≤…≤X(n)是样本的次序统计量，k是光滑参数（Smoothing Parameter）。此处k的选择是Hill估计的关键点。

k的选择的第一种方法可以是直观选取的方法，即从Hill点图k=1,2,…,n -1)中观察选取，在区间[k-,k+]平稳，k从区间[k-,k+]中选择，对所用取(3.12)的均值得到γˆH(n,k)≈γ，其对应于γ的k就是最优的光滑参数。

k的选择的第二种方法是Hall和Welsh(1985)证明的在分布函数满足如下Hall条件时：

k的最优估计为：

但是由于参数ρ＞0,C＞0,D≠0未知，因此此方法不能直接用来估计k。

k的选择的第三种方法是Bootstrap方法。k是通过最小化尾部指标的MSE（Mean Squared Error）得到，

这里偏差

方差

由于γ未知，所以MSE往往不能直接估计。Bootstrap方法使用从原始样本Xn中有放回地抽样得到的样本，这样，为了估计k，可以通过最小化MSE的Bootstrap经验估计得到：

在实际应用中，我们可以使用所有的Bootstrap样本均值来代替理论均值。Hill估计在一定的条件下是相合估计且具有渐进正态分布但是当1.5＜α＜2时会产生严重高估的情况 （McCulloch（1997））。方法（1）和（2）只能判断医疗损失数据是否属于最广泛的一类重尾分布（即矩母函数不存在的重尾分布），而通过方法（3）对尾部指标的估计可以进一步判断医疗损失数据尾部的严重程度，即可以判断其任何阶矩存在的问题。