3.3.2 重尾风险下均值与分位数保费原理比较
1.一般保费定价原理
我们假定保险人在一个固定的周期（一般为一年）内一个风险的随机赔付X的分布已知，一般的保费定价原理包括：纯保费原理、期望值保费原理、方差保费原理、标准差保费原理、指数保费原理、零效用保费原理、平均值保费原理、分位数保费原理、最大损失保费原理、Esscher保费原理、Wang保费原理等。这些保费定价原理各有优劣，而一般一个好的保费原理我们希望满足非负性、无敲诈性、兼容性、可加性和平滑性等特征。
2.目前商业医疗保险保费定价原理——期望值保费原理
我们知道短期商业医疗保险的保费包含风险保费、安全附加和管理费用。医疗保险的风险保费，是恰好补偿预期承保风险成本的保费。假设个体在单位时间内索赔的次数为N，每次赔付的数额为Xi，并且假设Xi,i=1,2,…独立同分布，Xi与N也是独立的，那么该个体面临的未来总损失（赔偿）S=X1+X2+…XN，根据纯保费原理，医疗保险纯保费应等于未来赔偿的预期。即
根据期望保费原理：
其中λ称为安全附加系数。
在国内，医疗保险根据其给付性质分为费用补偿型医疗保险和定额给付型医疗保险。
费用补偿型医疗保险是指根据被保险人实际发生的医疗费用支出，按照约定的标准确定保险金数额的医疗保险，其给付金额不得超过被保险人实际发生的医疗费用金额。
目前国内市场上的普通住院医疗保险产品大部分是费用补偿型的，一般按一定的比例给付，给付时要求及时准确地确定医疗费用。意外伤害医疗保险一般作为意外伤害保险的附加责任险，个人和团体都可以投保，也采取费用补偿的方式给付医疗保险金，一般规定有90天或180天的责任期限。门诊医疗保险多以附加险形式出现，也以费用补偿型居多，但多为团体形式。目前国内大多数高额医疗费用保险也是费用补偿型的，其起付线一般为城镇职工基本医疗保险的“封顶线”。近来市场上还出现了所谓的高端医疗保险，是专门针对高端人群设计的超高保额并突破社会医疗保险限制的费用补偿型医疗保险产品（补偿比例100%）。
定额给付型医疗保险是指按照约定的数额给付保险金的医疗保险。保险人按照被保险人住院天数以及手术项目给付保险金，保险金的金额依住院天数以及手术项目的不同而定。这种给付方式一般不需要提供医疗费用单据，保险人只要按照合同规定的补贴标准，对被保险人进行赔付，而且和其他社会医疗保险的给付并不发生矛盾。
目前国内市场上的定额给付型的保险常被称为住院津贴或住院补贴保险，被保险人因疾病经医院诊治必须住院治疗的，在扣除免赔天数（一般为3天，意外伤害医疗保险通常没有免赔天数）后开始给付住院日额保险金。手术医疗保险金通常按保单内约定的各项手术的最高给付额定额给付，当被保险人经医院诊断必须住院治疗且施行器官移植手术，还可按合同规定给付器官移植保险金。由于保险人能够对定额给付型医疗保险产品进行较好的风险控制，该类产品成为目前国内商业健康保险市场上比较成熟的、销售较好的医疗保险产品。
对于定额给付型医疗保险，相当于每次预期的赔付数额是确定的，剩下的就是估计个体在一年内索赔的次数的问题。虽然频率不是本书主要关心的问题，但是我们也关心定额给付型医疗保险产品中所涉及的定额的大小是否合理的问题。
对于费用补偿型医疗保险，需要估计索赔频率和有索赔发生的条件下，保险人的平均的损失额度，当然这种赔付的损失直接受制于医疗损失。一般情况下，保险人的平均损失额度用样本均值去估计，即：
这里p表示索赔频率，
表示用历史数据估计的平均的损失额度。
关于安全附加系数λ，在医疗保险实务中有两种处理方式，一种是根据经验，行业内往往给予10%～30%的安全附加系数。另一种，保险经营者通过使得下一年的赔付成本超过保费的概率小到保险能接受的水平（比如5%，1%等）。即通过使得
3.期望值保费原理对医疗保险经营的影响
由于本书并不考虑医疗损失的频率或者我们假定频率是已知的，所以简化记号，我们设在期望值保费原理下，个体的医疗保险保费为p1=(1+λ)EX。对于期望值保费原理，关键的是估计安全附加系数和医疗损失的均值的估计。
对于安全附加系数的估计，如果使用经验的安全附加系数（10%～30%）过于主观，而如果使用通过使得下一年的赔付成本超过保费的概率小到保险能接受的水平来估计安全附加系数的话，在做近似计算的时候需要建立在损失的一阶矩和二阶矩存在的基础上。
对于医疗损失均值的估计，在实务中最多地是使用样本均值。然而样本均值会受极端值的影响，由于医疗损失数据往往会有高额的数据出现，使得样本均值往往给人过高的感觉。一般保险费率厘定都必须遵循的是充分性、公平性、合理性和稳定灵活性。
（1）充分性：充分性指的是保费的收取足以支付将来的赔付以及合理的营业费用和适当的利润，充分性的核心是保证公司的偿付能力。
（2）公平性：公平性的核心是相同的风险收取相同的保费、不同的风险收取不同的保费，所以费率的厘定势必跟保险的种类、保险的期限、保险金额、保险责任、保险条款、年龄性别等因素有关。
（3）合理性：指的是保险费率保持充分性的同时也不能太高，使保险人获得超额的利润，而且太高的话影响竞争。
（4）稳定性和灵活性：稳定性是指费率在一定时期内保持稳定，在保证公司的声誉的同时也避免增加成本。灵活性是指随着市场需求、风险因素等变化能很快做出调整。
在期望值保费原理下，我们可以通过调节附加系数做到充分性，可以通过风险细分做到公平性，但是稳定性与合理性相对差一些：
①保费可能不稳定：用样本均值作为总体均值的一个估计，一个最显著的劣势就是容易受极端值的影响，一个天价的医疗费用就会导致样本均值偏高很多，所以如有某一年出现了一个高额的医疗损失，那么用此样本数据得出的期望值保费就会较高。这样就会导致保费的不稳定性，影响医疗保险的经营。
②保费可能不合理：由于医疗损失一般是右偏重尾的，所以样本均值往往比中位数或者其他均值的估计方式来得大以至于会导致保费偏高的结果，这样不利于医疗保险经营者的市场竞争。
4.样本中位数和均值在期望值保费原理下的应用分析
在p=(1+λ)×q×EX 的定价原则下，关于安全附加系数λ，在医疗保险实务中有两种处理方式，一种是根据经验，行业内往往给予10%～30%的安全附加系数。另一种，保险经营者使得下一年的赔付成本超过保费的概率小到保险能接受的水平。
（1）安全附加固定的情形
在安全附加根据经验主观确定的情形下，理赔成本用样本均值来估计，但是很多样本均值表现出偏高的态势，特别是在偏态重尾的分布下。那么我们是否可以用历史数据的中位数对理赔成本进行估计呢？也就是说我们要比较两种保费（假设发生率都为q）。设上一年的理赔为：X1,X2,…,Xm。
我们来比较
和
的稳定性、充足性、合理性的特征。已知医疗保险的赔付（特别是住院医疗保险）通常是右偏重尾的，通常用Gamma分布、对数正态和Pareto分布有较好的拟合效果。下面都用模拟来比较以上三种分布下均值保费和中位数保费的表现。
①Pareto分布
这里
叫尺度参数，被看作是可能的最小值。α叫作形状参数，在重尾分布中常被称作尾部指标。其数学期望、方差和中位数为：
图3.1 α=3（参考线为1.5和1.26）
图3.2 α=2.5（参考线为1.67和1.32）(https://www.daowen.com)
图3.3 α=2.1（参考线为1.91和1.39）
图3.4 α=1.5（参考线为2.99和1.59）
比较图3.1、图3.2、图3.3和图3.4，我们发现，①在Pareto分布下，用均值作为理赔成本假设，保费比用中位数作为理赔成本假设的保费高，而且随着尾部的增厚（α越小，尾部越厚），两者之间的差距越来越大。②均值假设下的保费波动程度要比中位数假设下的保费的波动程度大，而且尾部越厚，波动越大。
而就充足性和合理性而言，我们需要考察下一年的破产概率或者不破产概率。假设下一年n份保单，其赔付分别为Y1,Y2,…,Yn ，我们假设有理赔发生的条件下
独立同分布于X，我们要比较的是
和
，仍然使用模拟的方法，如中心极限定理：
（这里不妨设q＝0.1，30%λ=）
a）α=3
图3.5 Pareto分布α=3下破产概率比较
b）α=2.5
图3.6 Preto分布α=2.5下破产概率比较
c）α=2.1
图3.7 Pareto分布α=2.1下破产概率n＝100000（参考线1和0.015）
图3.5、图3.6和图3.7的模拟结果说明，在Pareto分布下。①2α≤时，方差不存在，普通中心极限定理的正态近似不能使用，所以此处仅讨论2α＞的情形。②尾部越厚，越慎用中位数作为定价原理，并且此时经验的安全附加有可能不够。③当尾部不是非常重时，例如2.5α=，当下一年保单数量足够大时，中位数可以代替样本均值使用在定价中，这样，保费可以降低，但是同样能将破产概率控制在一定的程度内。④尾部越薄，使用中位数定价需要的保单数量越小，比如3α=时，只需要1000份保单数量就可以把破产概率控制在0.5%以内。
②Gamma分布
a）α=3
图3.8 Gamma分布α=3破产概率比较
b）α=2.5
图3.9 Gamma分布α=2.5破产概率比较
c）α=1
图3.10 Gamma分布α=1破产概率比较
图3.8、图3.9和图3.10为模拟结果。我们发现，在Gamma分布下（Gamma分布不是重尾分布，但是其尾部比正态分布重，α越小尾部越重）：①均值保费比中位数保费一致地高，而且随着尾部的加重，这种差距的程度越来越大。②尾部越厚，越慎重用中位数作为定价原理，并且此时经验的安全附加有可能不够。③当尾部不是非常重时，例如α＞1，而下一年保单数量足够大时，中位数可以代替样本均值使用在定价中，这样，保费可以降低，但是同样能将破产概率控制在一定的程度内。又如α=2.5时，只要10000份保单就能将破产概率控制在0.1%内。④尾部越薄，使用中位数定价需要的保单数量越小，又如α=3时，只需要5000份保单数量就可以把破产概率控制在0.1%以内。
无论是Pareto分布还是Gamma分布，中位数定价和均值定价原则的比较表现出相同的特征，在安全附加确定的情形下，尾部越厚越谨慎使用中位数，当然如果首先估计了尾部指标，发现并不是很严重的重尾，并且保单数量达到一定的规模后，可以使用中位数定价，同样可以控制风险，保证其充足性，而且又能保证保费稳定性和合理性。
（2）安全附加需要决定的情形
上一年保单赔付为X1,X2,…,Xm独立同分布服从Pareto分布，下一年的保单数量为n，可能的赔付为Y1,Y2,…,Yn也独立同分布。不管在何种保费原理下，保险人需要确定下一年的保费，使得下一年赔付的成本超过保费的概率小到保险人能接受的水平（此处我们不妨假设为0.5%），所以从理论上保险人的保费是通过式（3.24）决定的：
如果是Gamma(1,0.0005)，假设
服从Gamma(1000,0.0005)，则
=2166.66。
而事实上，我们并不确切地知道下一年理赔额的分布，我们仅是用历史信息对其估计，估计的关键在于安全附加。
事实上最后的结果是在两种保费原理下，保费是一样的，只是安全附加不一样。根据上面的模拟，中位数保费原理下的安全附加肯定大于均值保费原理下的安全附加。