3.3.3 重尾风险下医疗保险保费充足性评估新方法
1.重尾风险下保费合理性评估概述
医疗保险经营者普遍关心的一个问题是“今天”的保费能否偿付“明天”的责任，也就是说目前收取的保费是否合理，是否充足。对保费合理性的评估和监测，可以警示当期医疗保险业务的质量，在此基础上做适当的风险控制。
由于医疗保险将来赔付的随机性，医疗保险保费的评估可以纳入到经典的风险理论框架内，对将来的赔付损失大于所收取的保费的可能性做一个估计或者近似，这就是的古典中心极限定理的统计方法的使用［见如Gerber（1979）］。然而我们常说医疗损失具有偏态重尾的性质［见如Cantoni and Ronchetti（2006），Manninga and Mullahy（2001）及其参考文献］，对于数据的统计学处理，偏态和重尾的现象，尤其是重尾的现象，当分布的尾部重到方差不存在时，传统的基于古典中心极限定理的统计方法不再适用，而必须应用针对重尾分布发展起来的一类统计方法［见如Markovich（2007）］。
重尾分布在精算中的应用已经崭露头角，主要用在破产概率[比如Tang（2003）]以及一些重尾风险的极值分位数和尾部的估计［比如欧阳资生（2008）和赵桂芹（2008）］。Cantoni and Ronchett（2006）在广义线性模型下针对医疗费用数据的重尾性提出了一个新的稳健估计的方法。医疗保险实践中，我们对重尾分布已有一些认识，人们常使用一些尾部较重参数型分布（比如Gamma、Pareto、对数正态、weibull分布、极值分布等）去对医疗损失进行建模［见如周为（1998）；Vasileios Keisoglou（2005）；陈滔（2002）］，并在此基础上进行相应的经济分析和定价、准备金等方面的决策。但是对为何使用这样或者那样的参数分布，目前为止并没有一个让人信服的说明。
本节的研究建立在医疗损失的重尾性下，特别是二阶矩不存在的情形，用非参数的方法给出了对医疗保险保费的合理性评估的估计，其中使用的就是pareto型重尾分布的广义中心极限定理。
2.理论模型与方法
在现收现付制社会医疗保险和短期商业医疗保险中，医疗保险经营者面对的是怎样一个风险模型？这里我们仅研究如下单周期的问题：假设某保险产品有相同风险的投保人n个，每人收取保费p，X1,X2,…,Xn是这n个人的实际赔付，并进一步可以假设X1,X2,…,Xn独立同分布于某个X。于是保险经营者来说需要准确估计Sn =X1+X2+…+Xn ＞np 的概率，即：
将此概率控制在一个合理的值内（比如说1%、5%或者10%，视管理者的风险态度而定）对保险经营者如保险公司、社保机构以及保险监管者来说都是至关重要的。反过来讲，如果此概率过大（超过了某个合理值），说明保费收取得不够充足，而此概率过小的话，说明保费可以进行合理的调整，存在一定的降低保费的空间。
在商业保险中，n并不确定，通常应当看作是随机变量，但是，在社会保障型的保险中，通常该产品所针对的群体都会全员参与，因此n基本上可以看作是确定的。本节仅研究这种情况。
在医疗保险中通常有免赔、限额、比例给付的情形，即，如果实际损失是Z，则赔付与实际损失之间会有如下的关系（分层比例赔付）
我们下面不涉及这样的细节，而直接假定X就是实际的索赔，这不会影响我们模型的一般性。另外，在实务中，医疗保险机构或者商业保险公司拥有的是实际发生的索赔信息Y，比如在住院医疗保险中就表现为已经发生住院的被保险人的住院医疗费用。技术性地引入一个示性随机变量
,Pr(I=1)=q，与Y相互独立，则X=YI，且
除了某些特殊的情况，计算Sn=X1+X2+…+Xn的精确分布往往是不可能的。如果nq不是很大，Sn可以较好地用复合Poisson分布（compound Poisson distribution）来近似：
这里
表示发生索赔的保单数，其服从二项分布B(n,q)。当n很大而q很小，但是nq适中时（即lim
nq=λ为某个常数），则
，N服从参数为λ的Poisson分布且与Y1,Y2,…,相互独立［参见Kass et al（2001）］。复合Poisson分布的计算一般来说也并非易事，常常用三参数的Gamma分布来近似或者用离散化后的Panjer迭代来近似。
当n非常大，以至于nq也很大时（相应地lim
nq=λ的假定不再合适），这时我们可以使用中心极限定理做近似计算，则根据中心极限定理以及Slusky定理［Ferguson
（1996）］，如果
，则
这里Φ(x)是标准正态分布的分布函数。实际中，使用
来进行近似计算。
但是根据Berry-Essen定理［参见如Fugerson（1996）］，当Xi的分布出现严重偏态（偏度系数
很大）时以及nq并不大时，这样的正态近似的准确性并不是很高。此外由（3.28）式可以看出，如果p＞EX（或者p＜EX）且p为不随n变化的常量，
（相应地
，因而
（相应地
，因此保险公司为了持续经营，保费的选择使得p＞EX且p-EX以保单的数量的平方根的速度趋于0就可以了，太大的保费虽然保证了充足性，但是对商业保险来说，会影响公司的竞争力，对社会保障型的保险来说，则有失公平性。
中心极限定理的应用依赖于X方差的存在，而复合Poisson分布的三参数Gamma分布近似更是依赖于X的分布的三阶矩。对于医疗费用损失的来说，当其尾部非常重以至于二阶矩不存在时，上面的方法皆不可用了，此时，需要借助于下面介绍的方法。
3.稳定分布及广义中心极限定理
由于对于医疗费用损失数据来说，如果二阶矩不存在，（3.28）的近似估计需要用到稳定分布［stable distribution，参见如Nolan（2009）］的一些理论，稳定分布是一类非常大的包含了偏态分布和重尾分布的概率分布。X是稳定分布当且仅当
，γ＞0，δ∈R并且Z的特征函数为：
这里0＜α≤2，-1≤β≤1，
是符号函数。稳定分布通常记为X～S(α,β,γ,δ)。其中0＜α≤2表示稳定性参数，正态分布的α=2，在 0＜α＜2时，α越小分布的尾部越重，比如Cauchy分布的α=1，Le′vy分布的
是表示偏度的参数，β=1表示完全右偏，而β=-1表示完全左偏。γ是尺度参数，δ表示位置参数。还可以将S(α,β,γ,δ)分为两种类型：我们说X～S(α,β,γ,δ;0)，则
X～S(α,β,γ,δ;1)，则
具有稳定分布的非负随机随机变量的广义中心极限定理为［见如Nolan（2009）］：
如果X具有Pareto型分布且其尾部概率满足
→c ＞0（当x→∞时），并且1＜α＜2，则当n→∞时，
从而我们可以利用上述定理，类似于（3.28）式来得到Pr(Sn＞np)的近似计算
【注释】
[1]数据来源：《2007年全国社会保险情况》http://www.mohrss.gov.cn/page.do?pa=402880202405002801240882b84702d7&guid=55e43b6207c1421ea8b6bb46b8797ddc&og=8a81f0842d0d556 d012d11d9b74c00ef，2011/9/21
[2]数据来源：http://www.rmss.net.cn/chns.htm，2011/9/22，该数据是目前比较流行的中国微观数据。
[3]信息来源：http://charls.ccer.edu.cn/charls/cindex.asp，2011/9/22