1.1 逻辑和数学的结合
1.1.1 关注数学基础问题
亚里士多德创建了最早的逻辑理论——三段论的逻辑。由此，亚里士多德被看成是逻辑学之父。紧接着三段论的逻辑，还有斯多葛学派建立的命题逻辑雏形，这两个逻辑被称为古典的逻辑。欧洲文艺复兴时代到来之前，逻辑学一直主要围绕着三段论理论而没有根本的变化。但是，欧洲文艺复兴时代是一个背叛亚里士多德逻辑的时代，这个背叛意在建立起一个更宽泛并且是更有力的推理方法，以便处理不断出现的新科学中的推理。文艺复兴时代的学者大都认为，对于不断出现的新科学而言，三段论是微不足道的并且是毫无用处的，英国哲学家F.培根（Francis Bacon，1561—1626）是这种说法的代表。
但科学的随后发展却又在挑战这种背叛，经典就是经典，对三段论的背叛很快就引来消解这种背叛的声音。到了19世纪，在数学界出现两件事情，发现数学竟然和三段论逻辑，实际上是和古典逻辑有着不解之缘，这就促成了三段论逻辑朝着代数方向的发展。
第一件事情是不断增长的对数学本身基础问题的关注。
17世纪，牛顿和莱布尼兹研究无限小量（即微分）的概念，在这个概念的基础上建立起无限小量演算的理论，这就是微积分理论，这个理论被看作是数学中最为成功的一个演算理论。但这个人类精神最高成果的理论，其关于无限小数的假定是不严格的。用贝格莱的批评，这个假定是用归纳替代演绎，并没有为其方法提供合法性的证明，它的数学基础是不稳固的。[1]
到19世纪，欧几里得几何学对于空间而言是必然真的康德概念，又受到新的几何学理论——非欧几何理论的重大打击。但非欧几何在其发展和被普遍承认的过程中，这个几何体系的逻辑可能性和无矛盾性问题，也一直为当时的学者们所关注。因此，近代数学的发展在19世纪一直都为数学本身的基础问题所困扰，而这个数学基础问题，本质上是逻辑基础的问题。
1.1.2 逻辑学本身的发展
第二件事情是逻辑学本身在数学触动下的戏剧性发展。
由于剑桥一批年轻数学家的工作，到19世纪，出现了一种新的代数理论——符号代数理论。符号代数理论把自身看作是一个纯粹的符号系统，它的运算甚至在产生“否定”或者“不可能”数的情况下，例如在负1 的平方根情况下，也是合法的。作为纯粹抽象形式系统的这种代数概念，使得许多运算的应用成为可能。当时的数学家W.汉密尔顿（William Hamilton，1805—1865）就证明：复杂的数可以用实数对来表达，这个想象的结果产生了矢量代数和矩阵代数。另一个重要的想象来自于乔治·布尔，它把符号代数理论用于古典逻辑，用来解释亚里士多德的三段论。逻辑由此从哲学的怀抱中挣脱出来，成为和数学紧密结合的一门古典学科，布尔因此是数理逻辑真正的奠基人。[2]
布尔的数理逻辑概念可以看作是数学对逻辑这一古典科目的运用，这被称为逻辑学的代数传统。循着这个传统所建立的逻辑称作逻辑代数，皮尔斯是追随布尔传统建构逻辑代数最伟大的学者之一。而这样一个逻辑的建立，似乎又把逻辑和另外的数学：公设化的几何理论和算术理论联系起来。
首先我们来看公设化的几何理论的发展脉络。
到19世纪，因为对欧式几何的质疑，所以产生非欧几何。非欧几何揭示不同想象空间的性质，将平直空间的欧式几何发展为不同空间的想象，例如罗氏空间和黎曼所设想的空间。依赖不同的空间设想，可以有不同的几何理论。
除欧式几何和非欧几何的区分之外，19世纪几何学还有另外几种不同几何学关系的研究。一个是对测度几何和射影几何间关系的研究，那就是，多重测度几何学的发现和射影几何学的变革，在几何学领域产生很大的混淆，这两种几何间究竟是什么样的一种关系呢？英国数学家奥瑟尔· 凯利（Arthur.Cayley，1821—1895）对这两种几何间关系的研究表明：所有的测度几何学都可以从射影几何学通过增加合适的距离定义来获得。这并不意味着测度几何学可以从射影几何学导出，因为距离定义是通过增加公设而获得的。但这个证明揭示出：射影几何和测度几何相比较，前者具有更高的普遍性。所有射影几何的公设对所有的测度几何都是真的；而不同的测度几何则是增加新公设的结果，这些新公设是为了给出距离的定义而提供的。
另一个则是拓扑学和射影几何学的关系，那就是，18世纪末叶由德国数学家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）发现的拓扑学，它研究那些虽然变换但并未产生改变的空间性质，这个对拓扑学的研究同样涉及和射影几何之间的关系。德国数学家费利克斯·克莱因（Felix.Klein，1849—1925）对这种关系的研究表明：拓扑学和射影几何之间具有射影几何和每一个测度几何之间同样的关系。克莱因证明：几何学的那些几何性质是在群转换之下不变的那些性质。这导致克莱因依据某种一般性质来对几何学进行分类，在这些几何学之中，一般性越低的几何学是因为我们不断地给一般性较高的几何学增加新公设的结果。克莱因的这个分类纲领就是著名的爱尔兰根纲领，它为几何学领域提供了秩序。这个给出几何学秩序的方法，既被应用到几何学的领域，又被C.I.刘易斯的老师罗伊斯运用到逻辑学的领域。
我们再来看和逻辑学发展紧密相关的实数理论的发展。
牛顿和莱布尼兹创建的微积分演算理论，依赖于对连续体的直观，也依赖于对无限小量概念的诉求。人们对无限小量的质疑，不断地在完善这个演算理论，同时也迫使数学家对演算的基本概念作更为精确的分析。也是到19世纪，法国数学家柯西（Augustin Louis Cauthy，1789—1857）为这种对演算的精确分析奠定了基础，他把演算建立在有限的基础之上，依据有限概念，他定义出导数概念，也定义出整数概念，这就把函数的连续性和无限序列的收敛置入同样的基础。但是，没有导数的连续函数的发现立刻就产生两个要求：一个要求是必须对连续性有一个更清晰的理解，另一个要求是必须对实数系统有一个更清晰的理解。这两个要求使得对数学的分析变成了“分析算术化”的纲领，德国数学家魏尔斯特拉斯（Wilhelm Weierstrass，1815—1897）和他的学生为这个纲领的实现做了艰苦的努力并且取得了巨大的成功。
魏尔斯特拉斯创建了一套ε-δ 语言，用这种语言重新定义了原来由柯西定义的不那么严格的一些概念，这些概念包括极限、连续、导数等等，从而奠定了分析算术化的基础。1857年，他又第一次给出实数的严格定义。他从自然数出发定义正有理数，然后从无数个有理数的集合来定义实数。但魏尔斯特拉斯的这些成果直到1872年都没有公开发表，同样在这一年，另外两个德国数学家戴德金（Richard Dedekind，1831—1916）和康托（Philipp Cantor，1845—1918）几乎同时发表了他们各自有关实数的理论，他们的实数构造方法正是我们现在通常采用的方法。他们还在各自实数定义之下，严格地证明实数系统的完备性。实数的严格定义加上实数系统的完备性，这就标志着，由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化纲领得以实现。而极限、实数、级数等概念的研究全都涉及无穷元素的集合问题，这又导致康托集合论的产生。
康托集合论中的超越数理论，既证明了基数与序数在超验王国中是根本不同的，也证明了实数的基数性质，这两个证明开辟了对许多经典数学问题的新研究。实数的连续性定义，任意线段上的点与点之间一一对应关系的建立，允许对曲线作纯粹算术定义的实数，这些都是紧随着皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）的下述证明而来的：一个平面上的点可以和实数处于一一对应的关系。实数发展到皮亚诺这个阶段，引起了另外一位数学家的关注，这就是德国数学家弗雷格。