C.I.刘易斯S1-S5 之后的模态逻辑进展
C.I.刘易斯在严格蕴涵基础上的S1-S5，本意在消除实质蕴涵怪论，建立起更符合语言直观的推理体系。C.I.刘易斯未曾预料到的是，他所设计的普通推理演算系统，虽然把严格蕴涵作为初始符号，但跟随C.I.刘易斯之后的模态逻辑研究，却仍然回归到布尔-施罗德代数基础上构建的《数学原理》PC 原点。C.I.刘易斯的S1 没有成为新逻辑的基点，随着模态语义学的进展，以PC 为基点的正规模态逻辑K 系统，成为当代模态逻辑研究的基底。然而，所有这些有关模态逻辑的研究，都和C.I.刘易斯S1-S5 有着紧密的联系，它们展现出模态逻辑早期研究的一幅前后相依的有机联系蓝图。
哥德尔在1933年设想的等价于S4 的系统，后来由菲斯（Feys）去掉该系统的一个公理，构成了菲斯称之为t 的模态系统，这个系统在1953年第一次被斯考波依斯基（Sobocinski）命名为T 系统。因为这个系统等价于冯赖特（Gerog Henrik von Wright，1916—2003）1951年构建的M 系统，它也常被人们称作M 系统。[42]
其后产生比T 更为基底的K 系统，这个系统一般归之于克里普克的贡献，但它的命名来自于莱蒙（E J Lemmon）和斯科特（Scott）1977年的模态著作。[43]而以上提到的T 和K 又都是建立在PC 的基础之上。而不是如同C.I.刘易斯的严格蕴涵系统，并不包含PC。
实际上，莱蒙在其1957年的一篇论文中就已经指出，C.I.刘易斯的S1-S5 完全可以在一个新的基础上加以理解，他论文的题目就是《C.I.刘易斯模态系统的新基础》。莱蒙所指的新基础包含以下四点：（1）该系统含有全部经典命题演算，即PC；（2）根据这样的系统生成的系统，全都包含在S5 之中；（3）允许重言等价替换；（4）具有以下4 个共同的公设。
公设①□（p→q）→（□p→□q）；
公设②□（p∧q）≡（□p∧□q）；
公设③（（□（p→q）→□（q→r））→□（p→r）；
公设④□p→¬ □¬ p 。[44]
这类基于PC 的模态系统，后来因为K 的出现，分类为正规模态逻辑和非正规模态逻辑——一个已经有点规模的模态逻辑群落。但这些关于真值的新奇模式只不过是冰山之一角，随后的几十年，追随C.I.刘易斯和哥德尔的工作，更多的模态被引入被研究。模态逻辑宛如一片枝叶繁茂绵延不绝的大森林，正在生成越来越多的新物种。这样一个富于生命力的逻辑学科，C.I.刘易斯所做的基础性工作，是值得我们永远追怀纪念的。
【注释】
[1]李文林著：《数学史概论》，高等教育出版社2002年版，第186页。
[2]Murray G.Murphey，C.I.Lewis-The Last Pragmatist，State University of New York Press，P64.
[3]C.I.Lewis，A Survey of Symbolic Logic，University of California Press，Berkeley，1918，P1.
[4]李国山主编：《刘易斯文选》，社会科学文献出版社2007年版，第4页。
[5]Edited by J.J.Stuhr，Classical American Philosophy，Oxford University Press，1987，P178.
[6]Murray G.Murphey，C.I.Lewis-The Last Pragmatist，State University of New York Press，P67.
[7]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P9.
[8]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P17.
[9]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P80.
[10]C.I.Lewis and C.H.Langford,Symbolic Logic,Published by The Century CO,1932,P87.
[11]李国山主编：《刘易斯文选》，社会科学文献出版社2007年版，第131页。
[12]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P89.
[13]A.N.Whitehead and B.Russell，Principia Mathematica，vol.1 Cambridge at the university press 1927，P91.
[14]A.N.Whitehead and B.Russell，Principia Mathematica，vol.1 Cambridge at the university press 1927，P90.
[15]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P118.
[16]A.N.Whitehead and B.Russell，Principia Mathematica，vol.1，Cambridge at the university press 1927，P91—92.
[17]A.N.Whitehead and B.Russell，Principia Mathematica，vol.1，Cambridge at the university press 1927，P8—13.
[18]C.I.Lewis，A Survey of Symbolic Logic，University of California Press，Berkeley，1918，P292.
[19]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P493.
[20]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P494—495.
[21]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P141—146.
[22]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：A New Introduction to Modal Logic，Routledge London and New York 1996，P198.
[23]C.I.Lewis and C.H.Langford：Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P177.
[24]C.I.Lewis and C.H.Langford，Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P207 。
[25]C.I.Lewis，A Survey of Symbolic Logic，University of California Press，Berkeley，1918，P319.
[26]R.Goldblatt，Mathematical Modal Logic：A View of Its Evolution，Journal of Applied Logic（2003）P315.
[27]C.I.Lewis and C.H.Langford：Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P497.
[28]D.M.Gabbay，F.Guenthner：Handbook of Philosophical Logic，2nd Edition，Vol.3，P3.
[29]C.I.Lewis，A Survey of Symbolic Logic，University of California Press，Berkeley，1918，P320.
[30]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：A New Introduction to Modal Logic，Routledge London and New York 1996，P199.
[31]C.I.Lewis and C.H.Langford：Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P177—178.
[32]Ibid，P153—166.
[33]M.Fitting and L.Mendelsohn：First-Order Modal Logic，Published by Kluwer Academic Publishers 1998，P7.
[34]R.Goldblatt，Mathematical Modal Logic：A View of Its Evolution，Journal of Applied Logic（2003）P314，note10.
[35]C.I.Lewis and C.H.Langford：Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P151.
[36]同脚注②，P500.
[37]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：A New Introduction to Modal Logic，Routledge London and New York1996，P198.
[38]C.I.Lewis and C.H.Langford：Symbolic Logic，Published by The Century CO，1932，P500.
[39]C.I.Lewis，A Survey of Symbolic Logic，University of California Press，Berkeley，1918，P291.
[40]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：An Introduction to Modal Logic，London，Methuen，1968，P218—219.
[41]R.Goldblatt，Mathematical Modal Logic：A View of Its Evolution，Journal of Applied Logic（2003）P315.
[42]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：An Introduction to Modal Logic，London，Methuen，1968，P31，footnote20.
[43]G.E.Hughes，M.J.Cresswell：A New Introduction to Modal Logic，Routledge，1996，P49，footnote1。
[44]E.J.Lemmon：New Foundations For Lewis Modal Systems，The Journal of Symbolic Logic，Vol22，N2，June 1957.