2.2 严格蕴涵演算系统LSIS 的构成
因为严格蕴涵演算是在命题演算基础上发展的，又融进C.I.刘易斯对布尔-施罗德代数以及二值代数的理解，它的基本构建也就既结合了《数学原理》的命题演算，又结合了二值代数中的公设设置模式，由此而构成以下几个部分。（以下，我们将C.I.刘易斯的严格蕴涵系统简称为LSIS）
首先，LSIS 含有PC 中除实质蕴涵符号之外的所有符号、相关定义和推理规则。但在初始符号的配置，定义配置和推理规则配置上略有不同，我们在此陈述如下。
（1）初始符号
①命题符号p，q，r……代表任意命题。
②否定符号¬，¬ p 表示p 的否定命题。
③合取符号∧，p∧q 表示合取命题“p 并且q”。
④辅助符号：左括号“（”和右括号“）”。
⑤◇符号的引入。
可能性，是严格蕴涵系统区别于实质蕴涵系统的新符号。LSIS 的初始符号先有以上命题演算PC 中的①至④，再引入可能性的新符号◇，这个符号的另一种解释是“一致性”。按照C.I.刘易斯的意见，说一个命题是可能的，我们也可以说这个命题是一致的，这一点我们在后面还会有讨论。
◇表示可能性，◇p 用来表明任意命题p 是可能的，或者p具有可能性。
◇p 读作：“p 是可能的”或者“p 具有可能性”。
这个新引入的符号◇，实际上也可以用来表示实质蕴涵、合取和析取的逻辑性质，这分别成为◇（p→q）、◇（p∧q），以及◇（p∨q）。以下的分析将表明，这个◇符号引进之后，我们就有了一个更接近日常蕴涵意义的新蕴涵词。
实质蕴涵有太为宽泛的蕴涵意义，要把实质蕴涵的意义框定在更为符合直观的意义上，需要我们引入新的蕴涵，这个蕴涵，C.I.刘易斯称之为严格蕴涵。因为我们已经引进初始符号◇，依据这个符号，可以给出一个经过定义的新符号，即严格蕴涵⇒。
（2）定义
①定义：p∨q=¬（¬ p∧¬ q）。
②定义：p⇒q=¬◇（p∧¬ q）。
符号“⇒”表示严格蕴涵。
那么，什么是严格蕴涵呢？C.I.刘易斯使用◇、∧和¬ 来定义严格蕴涵。依据命题演算PC，实质蕴涵p→q 可以表达为¬（p∧¬ q）。C.I.刘易斯在这个蕴涵的基础上强化了新蕴涵的否定含义，不但要否定的，还要比这种否定更强的否定，一种不可能的否定。在¬（p∧¬ q）基础上增加一个◇符号在¬ 之后，这就成为严格蕴涵⇒的定义。
这无疑是告诉我们，说两个命题p 和q 之间是严格蕴涵关系，仅仅规定它们“并非前真后假”还不够，还要有比“并非”更严格的意义融贯其中，那就是“不可能前真后假”。它使得两个命题间的蕴涵关系更为严格，前件和后件之间的关系有那种“不得不如此为之”的味道，也许这就是称之为“严格蕴涵”的本意吧。很快我们就能知道，的确就是这种不得不为之的味道，前件和后件关系因为这种强否定的植入，它就和带有必然性的实质蕴涵等价。
因为⇒的引入，另一种不同于实质等值的新等值符号，在严格蕴涵系统中也有其对应定义，即严格等值的定义。
③定义（p⇔q）=（p⇒q）∧（q⇒p）。
符号“⇔”称作严格等值，严格蕴涵基础上的等值。
自然，LSIS 的公设是在严格蕴涵意义上的公设。
（3）LSIS 的公设
严格蕴涵系统LSIS 公理设置不完全等同于PC 中的公设，我们列出以下表格予以对照。
表2 LSIS 的公设和PC 中的公设对照表
（4）LSIS 的推理规则
我们在二值代数系统中没有提及到推理规则，实质蕴涵的10 多个定理的证明，我们依据的是其公设和实质蕴涵本身体现的真值指派4 原则。实际上，这4 个真值指派的原则可以概括为有关运算的推理法则，那就是替换规则、分离规则和合取规则。
①替换规则。
A.等值替换规则。
两个等价的命题表达式可以在合式的符号串中相互替换。
B.一致性替换规则。
在合式符号串中的任意命题符号，可以用任意命题符号p、q、r 等其他符号替换，只要这种替换在该符号出现的每一个地方都一致性地进行。
②合成规则。
任意两个命题，如果它们已经分别地被断定，即p 被断定，q 被断定，则其合取式p∧q 被断定。
③分离规则。
如果p 被断定，并且p⇒q 被断定，则我们就断定了q。
这个分离规则是不是和该系统的公设⑦相重？C.I.刘易斯对此做了简要解释。
该公设⑦仅仅只是告诉我们，复合的前提p∧（p⇒q）蕴涵着q。确信的一点是，该公设的逻辑意义和这个运算是一致的。但是，一个符号表达式不应与给出证明的一个运算操作相混淆，这正是逻辑斯蒂方法的关键所在。因此，公设⑦给出的只是一个符号表达式，并且这个公设独立于其他公设，它只是作为公设提出的，而作为推理规则的分离规则是作为运算的操作规则给出的。