6.3.7 投入产出预测法
在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是一种研究经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦·列昂捷夫（W.Leontief）在1936年提出，是目前比较成熟的经济分析方法。
投入产出法可揭示经济活动中各种资源投入与产出间数量关系，既可反映经济活动直接消耗关系，又可反映间接消耗关系；既可用于经济计划，又可用于经济预测，是研究经济问题的一种好方法。
我国20世纪60年代初期开始宣传和介绍该方法，并于1974年开始编制第一个全国性投入产出表，开始用于计划、预测工作。投入产出法已从简单初始形式发展到较复杂结构，并逐渐应用到社会科学许多领域。我国经济建设迅速发展和科学技术突飞猛进，为投入产出法提供了广阔应用前景。
1.投入产出概念
投入指的是从事一项经济活动消耗。如生产过程和运输过程中所消耗原材料、辅助材料、能源、机器设备和劳动力等。投入就是从事生产和运输活动中的投入；产出指从事经济活动结果，如一定数量的产品，或完成一定数量运输量。投入产出法研究经济系统中各子系统间投入与产出间相互关系，为经济预测、经济计划、政策模拟以及综合平衡提供依据。
2.投入产出表结构
结构用两种形式描述：
一种是用线性方程组来描述，具体的经济结构的特点由这些方程中的系数来反映，这些系数是由统计、预测或其他数学推导方法来测定；另一种是用表格来描述。见表6-15。
一个投入产出表包括四个象限（部分）：
第Ⅰ象限：部门间交易象限或部门间流量象限：由各部门纵横交叉而成，是一个方形棋盘式平衡表，行数等于列数。其中行代表产出，列代表投入，每个部门既是投入消耗者，又是产出生产者。并巨，相同编号横行和纵列代表同名称部门。
第Ⅱ象限：最终用途象限，又称最终产品象限。这部分反映最终产品实物构成及其使用。
第Ⅲ象限：增加价值象限。包括：劳动报酬，如劳动者个人收入；社会纯收入，如政府税收；固定资产折旧。
第Ⅳ象限：直接购买要素象限：这一部分反映国民收入再分配。
投入产出表中的数字若为统计数字（即已经实现了的指标），则为投入产出统计表，可用来进行经济分析和政策分析。投入产出表中的数字若为预测值或计划值，则为投入产出计划表，可用来进行经济预测、政策模拟和安排生产计划等。
3.投入产出数学模型
通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。
投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。如表6-15中第一行中X1表示部门1的总产出水平，X11为本部门的使用量，X1j（j=1，2，…，n）为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为yj（j=1，2，…，n）。这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。
表6-15 投入产出表
（续）
投入产出的基本平衡关系：
从左到右： 中间需求+最终需求=总产出 （6-86）
从上到下： 中间消耗+净产值=总投入 （6-87）
由此得产出平衡方程组（也称分配平衡方程组）
或简写成
也可以把上式改写成需求平衡方程组
由投入产出表可以写出如下的投入平衡方程组（也称消耗平衡方程组）
上式也可以简写为
由式（6-90）和式（6-92），可得
上式表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。
（1）直接消耗系数 把第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作aij（i，j=1，2，…，n）。
由定义得
把投入产出表中的各个中间需求xij换成相应的aij后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵A=（aij）为直接消耗系数矩阵。
由直接消耗系数的定义xij=aijxj代入（6-91），得
令X=（x1x2…xn）′，Y=（y1y2…yn）′
式（6-95）可表示为AX+Y=X，或
（E-A）X=Y （6-96）称X的系数矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。
类似地把xij=aijxj代入平衡方程（6-92）得到
写成矩阵形式为
X=DX+Z或（E-D）X=Z （6-98）
其中
（2）完全消耗系数 直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。
设第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作bij（i，j=1，2，…，n）。
由bij构成的n阶方阵B=（bij）称为各部门间的完全消耗系数矩阵。
定理6.2.1 第j部门对第i部门的完全消耗系数bij满足方程
定理6.2.2 设n个部门的直接消耗系数矩阵为A，完全消耗系数矩阵为B，则有
B=（E-A）-1-E （6-100）
定理6.2.3 如果第j部门最终需求增加Δyj，而其他部门的最终需求不变，那么部门总产出X的增量为
ΔX=Δyj（Bj+ej） （6-101）
其中
ΔX=（Δx1Δx2…Δxn）′，Bj=（b1jb2j…bnj），ej为单位坐标向量
定理6.2.3表明，由第j部门最终需求的增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的增加。Δyj（Bj+ej）从数量上表示了各部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要完成增加Δyj最终需求的任务就不能实现。
4.投入产出实现模型的简单应用
投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。
具体做法是：根据投入产出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系数矩阵。再按公式X=（E-A）-1Y算出总产出向量X。