任务1　绘制点的投影

任务1　绘制点的投影

如图2-17所示为长方体，将长方体放入三投影面体系中，试绘制长方体顶点A的三面投影。

若求A点的投影，需将顶点A向三投影面作垂线，垂足即是点A的投影，想一想：点A的三面投影与长方体的其余顶点有什么关系？点A的三个投影之间又有什么位置关系呢？

将A点向正投影面（V）投影，得到点的正面投影a′；将A点向水平投影面（H）投影，得到点的水平投影a；将A点向侧投影面（W）投影，得到点的侧面投影a″。将图2-12（a）所示的三投影面体系展开，即可得点的三面投影图2-17。那么，a，a′，a″分别与长方体的什么尺寸有关？

一、点的投影及其投影规律

1.点的投影

由空间点A分别作垂直于H面、V面和W面的垂线，其垂足a、a′、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影，如图2-18（a）所示。

2.点的标记

三投影体系中点的标记，遵循下列规定，如图2-18（a）所示。

（1）空间点　用大写字母表示，如A、B、M、N等；

（2）点的水平投影　用相应的小写字母表示，如a、b、m、n等；

（3）点的正面投影　用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、m′、n′等；

（4）点的侧面投影　用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、m″、n″等。

3.点的投影规律

将点A的三个投影a、a′、a″分别向X轴、Y轴、Z轴作垂线，垂足ax、ay、az必会重合。由此可知，点A和它的三面投影a、a′、a″，加上三个垂足ax、ay、az，再加上原点O，八个点正好组成一个长方体，如图2-18（b）所示。

此时，将三个投影面展开，可得点A的三视图，如图2-19所示，很显然，点的投影符合三视图的投影规律，由此可得到点的投影规律：

（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX，即“长对正”；

（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ，即“高平齐”；

（3）点的水平投影到OX轴的距离等于其侧面投影到OZ轴的距离，即aaX=a″aZ，即“宽相等”。

作图时，为了表示aaX=a″aZ的关系，常用过原点O，以Oay为半径画弧，把点的H面与W面投影联系起来。

根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影，也可根据点的两个投影作出第三投影。

二、点的投影与直角坐标的关系

三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置，投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。

由图2-18（b）可以看出，A点的三个投影与其直角坐标的关系：

（1）点A到W面的距离Aa″=OaX=a′aZ=aay=x坐标；

（2）点A到V面的距离Aa′=Oay=aaX=a″aZ=y坐标；

（3）点A到H面的距离Aa=OaZ=a′aX=a″ay=z坐标。

所以点A的空间位置，可以用三个坐标来表示，写成A（x，y，z）的形式。点A每一个投影面的投影，可以用两个坐标来决定位置，如图2-20所示。

（1）正面投影a′，由坐标x和z决定；

（2）水平投影a，由坐标x和y决定；

（3）侧面投影a″，由坐标y和z决定。

任务实施

一、作长方体顶点的三面投影图

长方体顶点投影的作图步骤见表2-3。

重影点的概念

在图2-21中，点A和点C的水平投影重合，该两点称为H面的重影点。点A和点C向水平投影面投射时，C点在上，先投射C点，A点在下，后投射A点，则认为C点是可见的，A点不可见，不可见点的投影，标记需加括号，如（a）。

如图2-22所示，已知E点的两面投影，求作第三面投影。