比例规的应用原理

十六、十七世纪的火炮主要是用作攻城的利器，其炮弹乃以铅、铁或石制的实心圆球最为常见。各国所用的火炮形制相当混乱，共有大鸩铳、半鸩铳、大蛇铳、半蛇铳等十余炮种，每一炮种乃以其身径长度比（指火门至炮口的距离与内径之比例）相同作为主要特征。这些炮种有的尺寸相当多样化，如西班牙军队所用的大鸩铳，就有使用30、35、40、45或50磅铁弹者，而不同国家对炮种的定义亦略有出入，即使是同一国家也不曾完全标准化。

当时的铸炮者根据实际的测试结果，发现每门炮所需装填的药弹重量比，常随其炮种的不同而变化甚大。1600年左右，西班牙炮兵即定义大蛇铳和半蛇铳的药弹重量比为1∶1，半鸩铳为3∶5，大鸩铳为1∶2。炮术家并强调发炮必须讲求“药弹相称”的要领，因如用药过多，不仅浪费且还有膛炸之虞；用药过少，则炮弹在受到最大的推力后，仍处于管内，其运动将会受到管壁的阻碍而威力衰减。

由于炮弹的材质（亦即重量）常受制于环境而无法划一，司铳者为求能以最经济的火药量将炮弹击出，并尽可能减少发射时的后坐力，故对较轻的炮弹，往往装填较少的火药，以使炮弹离开炮管的初速维持定值，如此，各炮在新铸之初依不同仰角所做的射程测定表，即无须因所用炮弹的不同而做任何调整。

为帮助司铳者判断不同材质的圆弹所应填装的火药量，十六世纪欧洲的火炮制造者，即发明一种铳尺，让炮手无须复杂的计算，就可简便地估计属于某一特定炮种之炮的装药量。此种铳尺通常刻有分别标明为铁、铅或石的三条非线性尺，使用时先依炮弹的材质选取相应之尺，次将该尺的零点对准炮管的内壁，再沿着炮口某一直径方向读出内壁另一端所交铳尺的刻划，该值即为所应装填的火药重量。此类铳尺常可见附刻于铳规（Squadra）等炮手常用的仪具之上。^[3]

依照基本物理学和化学的常识，在炮弹初速保持不变的情形下，所需的火药量应大致与炮弹的重量成正比，亦即约与炮管口径的三次方和炮弹的密度成正比，故各铳尺在某一点上所刻划的火药重量值，应与铳规零点至该点距离的三次方成正比，而三条铳尺上刻划相同药重之点至零点的距离，则与炮弹密度的三分之一次方成反比。(https://www.daowen.com)

由于药弹重量比不一，故各炮种所用的铳尺应不同，至于其上的刻划，则以等比例增长或缩短。在当时战场上各式火炮杂陈的情形下，为求用单一仪具即可估算出不同炮种所需装填的火药量，伽利略乃从1597年起，雇请工匠制造发卖其所发明的比例规（见图表11.1）^[4]，此器除在炮学上的应用外，还可方便地解决当时许多常遇的代数或几何问题。^[5]

图表11.1：伽利略所发明比例规之简图

伽利略发明比例规的主要动机，原先是为了火炮上的应用，此故在其于1597—1599年间为比例规所撰写的操作手册中，即将铳尺所欲解决的数学问题列于书首，名之为“装填问题”（Problem of Caliber）。此一新发明的比例规，可使一名未受严格数学训练的炮手，只要知道某炮种的一组药弹参考值，即可在半分钟之内迅速求得同一炮种但不同口径之炮，于使用不同材质之炮弹时，所应装填的火药量。而当时一般精通数学之人，如以笔算的话，可能需花上十分钟。^[6]