《算数书》介绍

六　《算数书》介绍

张家山竹简内涵极其丰富，同许多学科都有关系。这里，我们再选取其中的《算数书》一种，作一简单介绍，并初步探讨其在中国数学史上的地位和价值。

上文已经说过，《算数书》是数学著作，这是考古发现中第一次出现整部的数学专书。《算数书》是从张家山247号墓出土的，保存尚好。书的内容是一种数学问题集，已清理出书里的小标题有六十个左右。

我国古代数学有悠久的历史传统。过去，人们公认现存最早的一部数学专著是《九章算术》。《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，被学术界推崇为与欧几里得《几何原本》东西辉映的名著。据近代学者研究，《九章算术》的成书不早于西汉中期，有的学者还主张它成书在东汉时期。

清嘉庆二十年（公元1815），河南睢州（今睢县）出土一件大司农铜斛，现藏上海博物馆，著录于1981年出版的《中国古代度量衡图集》图147。这件斛作于东汉灵帝光和二年（公元179），铭文中说：“特为诸州作铜斗、斛、称、尺，依黄钟律历、《九章算术》，以均长短、轻重、大小，用齐七政，〔1〕令海内都同。”同铭的有另一件铜斛和一件铜权。这证明《九章算术》在东汉已经通行，并在度量衡中广泛应用。

《九章算术》的成书虽在汉代，却有更早的渊源。三国时，魏景元四年（公元263），数学家刘徽为《九章算术》作注，他在序中指出：《九章算术》和《周礼·保氏》所说的“九数”有关系。秦代焚书后，汉张苍、耿寿昌都善于算术，他们“因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论者多近语也”。可见《九章算术》本起于先秦，经过汉代张苍等人删补，内容和语言都有了改变。今天我们能读到的传本，是汉人删补过的本子。

为什么说《九章算术》与《周礼》有关呢？原来《周礼·保氏》载，周代贵族子弟要受“六艺”的教育，“六艺”之一便是“九数”。据汉代郑众的解释，“九数”是方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，这些和《九章算术》只小有差别。很多学者对郑众的说法表示怀疑，因为他列举的“九数”里面有均输，一般认为均输不早于汉武，所以《九章算术》是不是“九数”之流就成了问题。归根结底，以前谁也没有看到过早于《九章算术》成书的系统的数学著作，郑众、刘徽的说法是否可信也无从验证了。

竹简《算数书》的发现，为解开这些谜团提供了线索。

《算数书》的体裁和《九章算术》有不少共同之处。有些小标题是以算法为题，例如《相乘》《分乘》《合分》《增减》等；有些则反映了当时社会经济生活的需要，如《税田》《程禾》《金价》之类。出土《算数书》的247号墓，从同时出土的历谱看，属于吕后时期，所以《算数书》比《九章算术》的成书要早得多。

《算数书》有些部分和《九章算术》有明显的关系。如《九章算术》卷四是《少广》，《算数书》也有《少广》这个标题，两者文字近似。

所谓“少广”，唐代李淳风等解说为：“一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从（纵）多，以益其广，故曰少广。”以《九章算术》书中《少广》的第一个问题为例，原文：

今有田广一步半，求田一亩，问从（纵）几何？答曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法（除数）。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实（被除数）。实如（除以）法得从（纵）步。

古代田制，六尺为一步，广一步、长二百四十步为一亩。上引问题是问：假设有田一亩，其广为一步半，求其长为多少。用现在的话说，即已知长方形面积及其一边，求其另一边。《九章算术》是这样计算的：

一步半，即一和二分之一，各乘以二使成整数，即二和一。

两者相加，得三，作为除数。

二百四十步，即二四〇，也乘以二，得四八〇，作为被除数。

除得一六〇，即所求纵长步数。

今天我们可用以代数作这道题：

不难看出，这和《九章算术》的计算步骤实质上是一样的。

《算数书》与此相当的一段是：

少广：广一步半步。以一为二，半为一，同之三，以为法。即直（置）二百（四十）步，亦以一为二，除如法得从（纵）步。为从（纵）百六十步。

除个别文字外，和《九章算术》基本相同。很明显，《九章算术》今本文字是沿袭《算数书》而来，或者两书有共同的来源。

《算数书》的发现，填补了中国数学史上的空白，为追溯《九章算术》的渊源提供了条件。对数学史研究来说，这是一项意义重大的发展。