2.3 例题解析

2025年10月13日

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2.3 例题解析

例2-1 一木柱受力如图2-1a所示，柱的横截面是直径为30cm的圆，材料服从胡克定律，其弹性模量E=20GPa，如果不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。

图2-1 例2-1图

解：（1）轴力图如图2-1b所示。

（2）AB段应力：

BC段应力：

CD段应力：

（3）AB段线应变：

BC段线应变：

CD段线应变：

（4）柱的总变形为

Δ_AD=Δ_AB+Δ_BC+Δ_CD=ε_ABl_AB+ε_BCl_BC+ε_CDl_CD

=-1.2×10^-4×1m-4.95×10^-5×2m-1.06×10^-4×1m

=-3.25×10^-4m

例2-2 图2-2所示拉杆沿斜截面m—n由两部分胶合而成，设在胶合面上许用拉应力[σ]=100MPa，许用切应力[τ]=50MPa。并设胶合面的强度控制杆件的拉力，试问：为使杆件承受最大拉力F，α角的值应为多少？若横截面面积为4cm²，并规定α≤60°，试确定许用载荷[F]。

图2-2 例2-2图

解：由及，得

且

所以为使F最大，则应满足

解得tanα=1/2，即α=26.6°。

当α=60°且A=4cm²时，有

所以[F]=46.2kN。

例2-3 求图2-3所示各简单结构中节点A的位移，设各杆的抗拉（压）刚度均为EA。

解：（1）AB杆内力为零，AC杆内力为F，则

AB杆变形： Δl_AB=0

AC杆变形：

A点位移如图2-3c所示，A₁点为A点的最终位置。

其中|AA₂|=Δl_AC，A点的位移为

（2）AD杆内力为零，所以

B点和A点的位移如图2-3d所示，点B₃和点A₃分别为B点和A点的最终位置，则由图可知，A点的位移ΔA=|AA₃|=|B₁B₃|+|A₁A₂|，其中

图2-3 例2-3图

所以，方向铅垂向下。

例2-4 在图2-4a所示杆系中，节点B处承受铅垂载荷F，斜杆AB的长度为L₁，水平杆的长度为L₂，两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[σ]，求为使杆系具有最小重量时的α角。

解：（1）选取节点B为研究对象，则受力分析如图2-4b所示。

由平衡条件

ΣF_y=0，F_ABsinα=F

图2-4 例2-4图

ΣF_x=0，F_ABcosα=F_BC

得，

（2）若使两杆的应力均达到材料的许用应力值[σ]，则有F_N/A=[σ]，即

由题意可得，斜杆AB的长度为

结构的重量为最轻，即结构所用材料的体积V为最小。且

若V最小，则应有dV/dα=0，即

所以。

例2-5 求如图2-5a所示杆的应变能（EA为已知）。

图2-5 例2-5图

解：去掉D支座多余约束，以F_D代替，如图2-5b所示。各段内力为

F_CD=F_D，F_BC=3F+F_D，F_AB=2F+F_D

由变形条件 Δl_AB+Δl_BC+Δl_CD=0

代入物理条件

得（2F+F_D）a+（3F+F_D）×2a+F_Da=0

所以 F_D=-2F

则 F_CD=-2F，F_BC=F，F_AB=0

则杆件应变能为

例2-6 某结构如图2-6所示，其中的横梁ABC可看做刚体，它由钢杆1，2支承，杆1的长度做短了δ=3×10^-3l，两杆的截面积均为A=2cm²，弹性模量E=200GPa，线胀系数α=12.5×10^-6K^-1，试求：（1）装配后各杆横截面上的应力；（2）装配后温度需要改变多少才能消除初应力？

图2-6 例2-6图

解：（1）设∠DCA=θ。

由静力平衡方程 ΣM_A=0，F₁×2lsinα=F₂×lsin45°

变形协调方程

联立求解得到 F₁=2.96kN，F₂=-37.56kN

则

（2）由解得ΔT=59.63K=59.63℃时，初应力为零。

例2-7 刚性横梁AB悬挂于三根平行杆上，如图2-7a所示。l=2m，F=40kN，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，δ=0.2mm。杆1由黄铜制成，A₁=2cm²，E₁=100GPa，α₁=16.5×10^-6K^-1，杆2和杆3由碳钢制成，A₂=1cm²，A₃=3cm²，E₂=E₃=200GPa，α₂=α₃=12.5×10^-6K^-1，设温度升高20℃，试求此时各杆的应力。

图2-7 例2-7图

解：由平衡条件

ΣF_y=0，F₁+F₂+F₃-F=0

ΣM_C=0，F₁a-F₃b+Fc=0

以及变形协调方程（图2-7b）

其中

则

得

例2-8 一木质拉杆接头部分如图2-8所示，接头处的尺寸为h=b=18cm，材料的许用应力[σ]=5MPa，[σ_bs]=10MPa，[τ]=2.5MPa，求许用拉力[F]。

图2-8 例2-8图

解：按剪切强度计算，有

则 F≤[τ]lb=2.5MPa×（0.18cm）2=81kN

按挤压强度计算，有

则

按抗拉强度计算，有

则

因此，[F]=54kN。

例2-9 图2-9a所示为一钢板条，用九个直径均为d的铆钉固定在立柱上。合力F已知，l=8a（a为铆钉间距）。试求铆钉内的最大切应力。假设：①若作用力通过铆钉群截面的形心，则各铆钉的受力相等。②若作用一力偶，则钢板条有绕铆钉群截面形心C转动的趋势，于是任一铆钉的受力大小与其到形心C的距离成正比，而力的方向与该铆钉至形心C的连线相垂直。