5.3 平面与平面体相交
平面与立体相交，就是假想用平面去截切立体，此平面称为截平面。截平面与形体表面的交线称为截交线。截交线围成的平面图形称为截断面（或断面）。如图5-7（a）所示。
平面立体和曲面立体截交线都具有以下性质：
（1）截交线的形状一般都是封闭的平面图形或空间折线（含曲线）。
（2）截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。如图5-7（b）所示。
图5-7 平面体截交线
求作平面立体截交线的方法有以下2种：
（1）线、面交点法。即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。
（2）积聚性法。由于截平面一般都处于特殊位置，至少有一个投影具有积聚性，这样就可以把求平面体截交线的问题转化为在平面体各个表面——也就是平面上取点、线来解决。这里主要介绍这种方法。
【例5-3】如图5-8（a）所示，求带切口三棱锥的H、W投影。
【解】从V面投影可以看出，该切口由一个水平面和一个正垂面构成，它涉及三棱锥的3个侧表面。完整的三棱锥的3个侧表面分别为：三角形SAB和SBC都是一般位置平面，其三面投影应均为类似图形；三角形SAC为侧垂面，其V、H投影应该为类似图形。它们被开了切口以后，形状发生了变化，但是位置没有变化，因此投影的特性不会发生变化。这样就可以通过对投影特性的分析，再利用平面上取点、线的方法迅速解决其余两面投影。
具体地说，三角形SAB被开了切口以后变成一个三角形SⅣⅤ（s′4′5′）和四边形ⅠⅡBA（1′2′a′b′），其H、W投影应该是与其相类似的图形s45和s″4″5″及12ab和1″2″a″b″；三角形SBC被开了切口以后变成一个六边形SⅣⅢⅡBC（s′4′3′2′b′c′），其H、W投影应该是与其相类似的图形s432bc和s″4″3″2″b″c″；三角形SAC被开了切口以后变成一个六边形SⅤⅥⅠAC，其H投影应该是与其相类似的图形s561ac，W投影积聚为一直线。最后再分析由两个截平面相交而产生的交线ⅢⅥ及其投影的可见性并处理轮廓线。
具体的作图过程如图5-8（b）的箭头所示。
这里一定要注意：在作图之前，必须对立体各个表面的空间位置和被截平面截切前后的形状变化及其投影应该有什么样的特点进行分析，初学时还要学会对各个顶点进行编号，这样就可以明晰作图的思路，并对作图结果有一个准确的形状（类似图形）意识，最后即使不检验作图的过程也能一目了然地判断作图结果的正确与否。
图5-8 切口三棱锥的投影
【例5-4】如图5-9（a）所示，求被截切后四棱柱的H、W投影。
图5-9 3个平面截切四棱柱的截交线
【解】分析：根据投影特点，可以知道这是一个四棱柱在其中左方被切了一个口，切口由一个水平面、一个侧平面和一个正垂面3个平面构成；截交线为空间折线，求出各个折点即可，折点为棱线与截平面的交点或截平面交线与棱面的交点。
作图：
（1）点Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ都是棱线与截平面的交点，利用点的投影规律和从属性来求，即由1′、2′、5′、6′、7′、10′求得1、2、5、6、7、10和1″、2″、5″、6″、7″、10″。
（2）点Ⅲ、Ⅳ、Ⅷ、Ⅸ都是截平面交线与棱面的交点，而棱面是铅垂面，所以利用面的积聚投影来求，即由3′、4′、8′、9′求得3、4、8、9和3″、4″、8″、9″。
（3）利用同面点相连的原则依次相连，并由点的可见性和投影方位关系来判别截交线的可见性，即得截交线的投影。
（4）补全截断体的轮廓投影并判别可见性。如图5-9（b）所示。