函数的极限
从上一节可知，数列是特殊的极限，极限的实质就是自变量变化时，函数值的变化趋势，那么一般函数的极限又如何呢？
一、当x→∞时，函数f（x）的极限
1.x→+∞时
设函数f定义在[a，+∞）上，类似于数列情形，研究当自变量x趋于+∞时，对应的函数值也能否无限地接近于某个定数A.例如，对于函数
如图1-5所示，当x无限增大时，函数值无限地接
.
如图1-5所示，当x无限增大时，函数值无限地接近于0.
图1-5
函数f（x）（x→+∞）的极限定义与数列{xn}的极限定义很相似.这是因为它们的自变量的变化趋势相同（x→+∞与n→+∞）.
定义1.13 设函数f（x）在区间（a，+∞）有定义，A是常数.若对于任意给定的正数ε＞0，总存在X＞0，当x＞X时，有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）当x→+∞时以A为极限，表示为
或f(x)→A（当x→+∞）．
在定义中正数X的作用与数列极限定义中的N相似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比X大的所有实数x，而不仅仅是正整数N.因此，当x趋于正无穷大时函数f（x）以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f（x）在+∞的某邻域内的全部函数值.
几何意义
几何意义如图1-6所示.
对于任意给定的ε＞0，在坐标平面上作两条平行于x轴的直线y=A+ε与y=A-ε，围成以直线y=A为中心线、宽为2ε的带形区域；定义中的“当x＞X时，有|f（x）-A|＜ε”表示：在直线x=X的右方，曲线y=f（x）全部落在这个带形区域之内.如果正数ε取的再小一点，即当带形区域更窄时，那么直线x=X一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数X，使得曲线y=f（x）在直线x=X的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.
与定义1.13相仿，得到
图1-6
2.x→-∞时
定义1.14设函数f（x）在区间（-∞，a）有定义，A是常数，若对于任意给定的ε＞0，存在X＞0，当x＜-X时，有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）当x→-∞时以A为极限，表示为
或f(x)→A（当x→-∞）．
3.x→∞时
定义1.15 设函数f（x）在
有定义，A是常数，若对于任意给定的ε＞0，存在X＞0，当x满足|x|＞X时，有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）当x→∞时以A为极限，表示为
或f(x)→A（当x→-∞）．
例1 证明
（见图1-7）.
证 对于任意给定的ε＞0，取
，则
当|x|＞X时有
所以
.
图1-7
例2 证明
.
证 对于任意的ε＞0，要使|2x-0|=2x＜ε成立，只要
就可以了（这里不妨设ε＜1），取
，于是对于任意的ε＞0，存在
，当x＜-X时，有|2x-0|＜ε，即
例3 证明（1）
；（2）xlim
.
证 （1）对于任意给定的ε＞0，由于
等价于
，而此不等式的左半部分对任何x都成立，所以只要考察其右半部分x的变化范围.
为此，不妨设
，则有
故对任意给定的正数
，只须取
，则当x＜-X时便有式（1-1）成立.这就证明了（1），类似地可证（2）.
综合（1）、（2）由定义可知，当x→∞时函数arctanx不存在极限.
二、当x→x0时，函数f（x）的极限
考察函数f（x）=2x+1.当x趋于2时，可以看到它所对应的函数值就趋于5（见图1-8）.
考察函数
.当x≠2时，f（x）=x+2，由此可见，当x不等于2而趋于2时，对应的函数值f（x）就趋于4（见图1-9）.
图1-8
图1-9
不难看出，上述两个例子和上段中当x→∞时极限存在的情形相似，而这里是“当x趋于x0（但不等于x0）时，对应的函数值f（x）就趋于某一确定的数A”.
定义1.16 设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，A是常数，若对于任意给定的正数ε＞0，总存在正数δ＞0，使得x满足不等式|0＜x-x0|＜δ时，有
|f（x）-A|＜ε
则称函数f（x）当x→x0时以A为极限，表示为
或f(x)→A（当x→+∞）．
在此极限定义中，“0＜|x-x0|＜δ”指出x≠x0，这说明函数f（x）在x0的极限与它在x0处的定义和取值无关.x0既可以不在函数f（x）的定义域内；又可以在函数f（x）的定义域内，但这时函数f（x）在x0的极限与f（x）在x0的函数值f（x0）可以没有任何联系.
几何意义
“ε-δ”定义表明，任意做一条以直线y=A为中心线，宽为2ε的横带（无论怎样窄），必存在一条以x=x0为中心，宽为2δ的直带，使直带内的函数图像全部落在横带内（见图1-10）.
图1-10
例4 
.
证 由于|f（x）-A|=|x-x0|，因此对于任意给定的正数ε，可取正数δ=ε，当0＜|x-x0|＜δ时，不等式|f（x）-A|=|x-x0|＜ε成立.
所以
.(https://www.daowen.com)
例5 设
，证明
.
证 由于当x≠2时，|f（x）-4|=
=x-2
，故对任意给定的ε＞0，只要取δ=ε，则当0＜|x-2|＜δ时有|f（x）-4|＜ε.这就证明了
=4.
例6 证明
.
证 先建立一个不等式，即当
时有
sinx＜x＜tanx （1-2）
事实上，在如图1-11所示的单位圆（半径为1）内，当
时，sinx=CD，
，tanx=AB，所以
S△OAD＜S扇形OAD＜S△OAB，
即
，由此立得式（1-2）.
图1-11
又因为当
时，有sinx≤1＜x，故对一切x＞0都有sinx＜x；
当x＜0时，由sin（-x）＜-x得-sinx＜-x.综上所述，又得到不等式
|sinx|＜|x|，（x∈R） （1-3）
由此，从式（1-3）得
.对于任意给定的ε＞0，只要取δ=ε，则当0＜|x-x0|＜δ时，就有|sinx-sinx0|＜ε.所以
.
单侧极限 有些函数在其定义域上某些点的左侧与右侧解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义，称之为单侧极限.
例如，函数
当x＞0而趋于0时，应按f（x）=x2来考察函数值的变化趋势；当x＜0而趋于0时，应按f（x）=sinx来考察.又如函数
在其定义区间[-1，1]端点x=±1处的极限，也只能在点x=-1的右侧和点x=1的左侧来分别讨论.，
定义1.17 设函数f（x）在x0的左邻域（或右邻域）有定义，A是常数.若对于任意给定的ε＞0，存在δ＞0，当x满足x0-δ＜x＜x0（或x0＜x＜x0+δ）时，有
|f（x）-A|＜ε则称A是函数f（x）在x0的左极限（或右极限）.记作
=A或f（x0-0）=A，
=A或f（x0+0）=A）.
左极限与右极限统称为单侧极限.它们与极限的关系，有下述定理.
定理1.5 
的充要条件是
.类似有
.
例7 设
，研究当x趋于0时，f（x）的极限是否存在.
解 当x＜0时，
，而当x>0时，
.
左、右极限都存在但不相等，所以，由定理1.5可知当x→0时，f（x）不存在极限（见图1-12）.
例8 研究当x→0时，f（x）=x的极限.
解 
.
因为
，
所以，由定理1.5可得
.
图1-12
三、函数极限的性质
在此节中，引入了下述六种类型的函数极限：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
.
它们具有与数列极限相类似的一些性质，以后都以第（6）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的做些修改即可.
1.极限唯一性
定理1.6 若极限
存在，则此极限是唯一的.
证 设A、B都是f当x→x0时的极限，则对任意给定的ε＞0，分别存在正数δ1与δ2，使得当0＜|x-x0|＜δ1时，有
当0＜|x-x0|＜δ2时，有
|f（x）-B|<ε （1-5）
取δ=min（δ1，δ2），则当0＜|x-x0|＜δ时，式（1-4）与式（1-5）同时成立，故有
由ε的任意性得A=B.这就证明了极限是唯一的.
2.局部有界性
定理1.7 若极限
存在，则f在x0某去心邻域
内有界.
证 设
.取ε=1，则存在δ＞0，使得对一切
有
|f（x）-A|＜1
即|f（x）|≤|f（x）-A+A|＜|A|+1.
这就证明了f在
内有界.
3.局部保号性
定理1.8 若
，则对任何正数r＜A（或r＜-A），存在
，使得对一切
，有
f（x）＞r＞0（或f（x）＜-r＜0）
证 设A＞0，对任意r∈（0，A），取ε=A-r，则存在δ＞0，使得对一切
（x0，δ），有f（x）＞A-ε=r，这就证得结论.对于A＜0的情形可类似地证明.
推论1.2 （保不等式性）设
与
都存在，且在某邻域
（x0，δ′）内有f（x）≤g（x），则
证 设
，
，则对任意给定的ε＞0，分别存在正数δ1与δ2，使得当0＜x-x0＜δ1时有
A-ε＜f（x） （1-7）
当0＜|x-x0|<δ2时有
g（x）＜B+ε （1-8）
令δ=min（δ′，δ1，δ2），则当0＜|x-x0|＜δ时，不等式f（x）≤g（x）与式（1-7）、式（1-8）同时成立，于是有A-ε＜f（x）≤g（x）＜B+ε，从而A＜B+2ε.由ε的任意性得A≤B，即式（1-6）成立.